干貨：2021考研數(shù)學(xué)：高數(shù)牢記定理(五)

　　對(duì)于考研數(shù)學(xué)來說，高數(shù)部分很重要，要想拿分，須把一些定理記牢。為此，幫幫整理了“2021考研數(shù)學(xué)：高數(shù)定理牢記(五)”的文章，希望對(duì)大家有所幫助。

　　?多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

　　1、多元函數(shù)極限存在的條件

　　極限存在是指P(x，y)以任何方式趨于P0(x0，y0)時(shí)，函數(shù)都無限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0，y0)時(shí)，即使函數(shù)無限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過來，如果當(dāng)P(x，y)以不同方式趨于P0(x0，y0)時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù)：f(x，y)=0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2&ne0

　　2、多元函數(shù)的連續(xù)性定義

　　設(shè)函數(shù)f(x，y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0，y0)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且P0&isinD，如果lim(x&rarrx0，y&rarry0)f(x，y)=f(x0，y0)則稱f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)連續(xù)。

　　性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。

　　性質(zhì)(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。

　　3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)

　　如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn)定連續(xù)，但對(duì)于多元函數(shù)來說，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。這是因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于P0時(shí)，函數(shù)值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點(diǎn)P按任何方式趨于P0時(shí)，函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。

　　4、多元函數(shù)可微的要條件

　　一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分要條件，但多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導(dǎo)。

　　5、多元函數(shù)可微的充分條件

　　定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(diǎn)(x，y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。

　　6.多元函數(shù)極值存在的要、充分條件

　　定理(要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0，y0)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)為零。

　　定理(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處是否取得極值的條件如下：(1)AC-B2>0時(shí)具有極值，且當(dāng)A0時(shí)有極小值(2)AC-B2

　　7、多元函數(shù)極值存在的解法

　　(1)解方程組fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。

　　(2)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0，y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.(3)定出AC-B2的符號(hào)，按充分條件進(jìn)行判定f(x0，y0)是否是極大值、極小值。

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