干貨：2021考研數(shù)學(xué)高數(shù)重要知識點

　　摘要：從整個學(xué)科上來看，高數(shù)實際上是圍繞著、導(dǎo)數(shù)和積分這三種基本的運算展開的。對于每一種運算，我們首先要掌握它們主要的計算方法;熟練掌握計算方法后，再思考利用這種運算我們還可以解決哪些問題，比如會計算以后：那么我們就能解決函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)間斷點的分類，導(dǎo)數(shù)的定義這些問題。這樣一梳理，整個高數(shù)的邏輯體系就會比較清晰。

　　函數(shù)部分：

　　函數(shù)的計算方法很多，總結(jié)起來有十多種，這里我們只列出主要的：四則運算，等價無窮小替換，洛必達法則，重要，泰勒公式，中值定理，夾逼定理，單調(diào)有界收斂定理。每種方法具體的形式教材上都有詳細的講述，考生可以自己回顧一下，不太清晰的地方再翻到對應(yīng)的章節(jié)看一看。

　　接下來，我們來說說直接通過定義的基本概念：

　　通過，我們定義了函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)在處連續(xù)的定義是，根據(jù)的定義，我們知道該定義又等價于。所以討論函數(shù)的連續(xù)性就是計算。然后是間斷點的分類，討論函數(shù)間斷點的分類，需要計算左右。

　　再往后就是導(dǎo)數(shù)的定義了，函數(shù)在處可導(dǎo)的定義是存在，也可以寫成存在。這里的式與前面相比要復(fù)雜一點，但本質(zhì)上是一樣的。最后還有可微的定義，函數(shù)在處可微的定義是存在只與有關(guān)而與無關(guān)的常數(shù)使得時，有，其中。直接利用其定義，我們可以證明函數(shù)在一點可導(dǎo)和可微是等價的，它們都強于函數(shù)在該點連續(xù)。

　　以上就是這個體系下主要的知識點。

　　導(dǎo)數(shù)部分：

　　導(dǎo)數(shù)可以通過其定義計算，比如對分段函數(shù)在分段點上的導(dǎo)數(shù)。但更多的時候，我們是直接通過各種求導(dǎo)法則來計算的。主要的求導(dǎo)法則有下面這些：四則運算，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，反函數(shù)求導(dǎo)法則，變上限積分求導(dǎo)。其中變上限積分求導(dǎo)公式本質(zhì)上應(yīng)該是積分學(xué)的內(nèi)容，但出題的時候一般是和導(dǎo)數(shù)這一塊的知識點一起出的，所以我們就把它歸到求導(dǎo)法則里面了。

　　能熟練運用這些基本的求導(dǎo)法則之后，我們還需要掌握幾種特殊形式的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算：隱函數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)。我們對導(dǎo)數(shù)的要求是不能有不會算的導(dǎo)數(shù)。這一部分的題目往往不難，但計算量比較大，需要考生有較高的熟練度。

　　然后是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)主要有如下幾個方面的應(yīng)用：切線，單調(diào)性，極值，拐點。每一部分都有一系列相關(guān)的定理，考生自行回顧一下。

　　這中間導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系是核心的考點，考試在考查這一塊時主要有三種考法：

　?、偾髥握{(diào)區(qū)間或證明單調(diào)性;

　?、谧C明不等式;

　　③討論方程根的個數(shù)。

　　同時，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系還是理解極值與拐點部分相關(guān)定理的基礎(chǔ)。另外，數(shù)學(xué)三的考生還需要注意導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用;數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二的考生還要掌握曲率的計算公式。

　　積分部分：

　　一元函數(shù)積分學(xué)首先可以分成不定積分和定積分，其中不定積分是計算定積分的基礎(chǔ)。對于不定積分，我們主要掌握它的計算方法：第一類換元法，第二類換元法，分部積分法。這三種方法要融會貫通，掌握各種常見形式函數(shù)的積分方法。

　　熟練掌握不定積分的計算技巧之后再來看一看定積分。定積分的定義考生需要稍微注意一下，考試對定積分的定義的要求其實就是兩個方面：會用定積分的定義計算一些簡單的;理解微元法(分割、近似、求和、取)。至于可積性的嚴格定義，考生沒有必要掌握。

　　然后是定積分這一塊相關(guān)的定理和性質(zhì)，這中間我們就提醒考生注意兩個定理：積分中值定理和微積分基本定理。這兩個定理的條件要記清楚，證明過程也要掌握，考試都直接或間接地考過。

　　至于定積分的計算，我們主要的方法是利用牛頓—萊布尼茲公式借助不定積分進行計算，當(dāng)然還可以利用一些定積分的特殊性質(zhì)(如對稱區(qū)間上的積分)。

　　一般來說，只要不定積分的計算沒問題，定積分的計算也就不成問題。定積分之后還有個廣義積分，它實際上就是把積分過程和求的過程結(jié)合起來了?？荚噷@一部分的要求不太高，只要掌握常見的廣義積分收斂性的判別，再會進行一些簡單的計算就可以了。

　　會計算積分了，再來看一看定積分的應(yīng)用。定積分的應(yīng)用分為幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用。其中幾何應(yīng)用包括平面圖形面積的計算，簡單的幾何體(主要是旋轉(zhuǎn)體)體積的計算，曲線弧長的計算，旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算。物理應(yīng)用主要是一些常見物理量的計算，包括功，壓力，質(zhì)心，引力，轉(zhuǎn)動慣量等。其中數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二的考生需要全部掌握;數(shù)學(xué)三的考生只需掌握平面圖形面積的計算，簡單的幾何體(主要是旋轉(zhuǎn)體)體積的計算。這一部分題目的綜合性往往比較強，對考生綜合能力要求較高。

　　這就是高等數(shù)學(xué)整個學(xué)科從三種基本運算的角度梳理出來的主要知識點。除此之外，考生需要掌握的知識點還有多元函數(shù)微積分，它實際上是將一元函數(shù)中的，連續(xù)，可導(dǎo)，可微，積分等概念推廣到了多元函數(shù)的情況，考生可以按照上面一樣的思路來總結(jié)。

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