考研幫 > 數(shù)學(xué) > 復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

考研數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn):分段函數(shù)求高階導(dǎo)

  摘要:對(duì)于分段函數(shù)求一階導(dǎo),各位怕是早已爛熟于心,那么求高階導(dǎo)數(shù)呢?大家是不是會(huì)經(jīng)常出錯(cuò),但也發(fā)現(xiàn)不了錯(cuò)誤在哪里,今天幫幫就教大家分段函數(shù)求高階導(dǎo)。

  不僅是分段函數(shù),對(duì)于一般的函數(shù),求個(gè)三五次導(dǎo)還好說?求n次導(dǎo)呢?一般對(duì)于這種無法實(shí)現(xiàn)的求導(dǎo),就可以將導(dǎo)數(shù)與級(jí)數(shù)結(jié)合在一起。

  (導(dǎo)數(shù)如此,那么其他地方呢?其實(shí),有些看似不可積的函數(shù),與級(jí)數(shù)結(jié)合后未必不可積哦?。?br />
  從一道經(jīng)典的題入手



  先來復(fù)習(xí)一下分段函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)怎么求:

  連續(xù)的部分直接用求導(dǎo)公式求

  分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值用導(dǎo)數(shù)的定義求

  接下來看高階導(dǎo)數(shù),先看操作

  那么y(x)的導(dǎo)數(shù)就可以寫成



  接下來看高階導(dǎo)數(shù),先看操作



  然后化簡一下



  然后我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)x=0時(shí)



  那么我原來的分段函數(shù)就可以如下表示



  也就是我的分段函數(shù)用一個(gè)式子表示出來了。

  下面我們來理一理思路:

  首先,這是一個(gè)求導(dǎo)題,而且是求高階導(dǎo)

  求導(dǎo)我們一般有兩種方法

  一是用定義,這對(duì)于分段函數(shù)分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)貌似很合適

  二是用求導(dǎo)公式,一般連續(xù)函數(shù)才能用這個(gè)方法

  但是用定義法去求這里的高階導(dǎo)數(shù),貌似不合適,如果只是求個(gè)2階導(dǎo)數(shù),3階導(dǎo)數(shù)似乎可以硬著頭皮算。

  看到n次導(dǎo)數(shù),想到了萊布尼茲的高階求導(dǎo)公式,但是那個(gè)好像只能用于連續(xù)函數(shù)的求導(dǎo),而且求導(dǎo)公式只能對(duì)一個(gè)函數(shù)式子求導(dǎo)。

  然而我們的第一步,就是將一個(gè)分段函數(shù)用一個(gè)表達(dá)式子來表示,這樣的話就滿足用求導(dǎo)公式這種方法的使用條件了。

  分段函數(shù)一般給大家的第一印象就是不連續(xù)(這是偏見啊!)

  分段函數(shù)并不是不連續(xù),只是有的時(shí)候沒辦法用一個(gè)式子去表達(dá)自己的函數(shù)關(guān)系,但是有的時(shí)候級(jí)數(shù)是可以的,這就是這里我們采用級(jí)數(shù)的方法的原因(題中x=0時(shí)sinx/x是沒有定義的,但是級(jí)數(shù)就沒有這顧慮,因?yàn)榧?jí)數(shù)的x都是在分子上的。)

  接下來繼續(xù)答題,我們已將分段函數(shù)用一個(gè)式子表示了,下面有兩種做法,第一種:將所給式子求n次導(dǎo)數(shù)后,將x=0代入得到答案。這是可以的,但是這種莽夫的做法。我們一般用第二種更高級(jí)的方法。(麥克勞林級(jí)數(shù))



  這是什么操作?



  然后我們知道分段函數(shù)可以有兩種表示方式了



  然后看下面一種致命錯(cuò)誤:



  貌似沒毛???

  但是式子①中左邊式子中只有x的偶次數(shù)項(xiàng),而右邊既有x的偶次數(shù)項(xiàng)也有x的奇次數(shù)項(xiàng),當(dāng)n=3時(shí),左右兩邊的x的次數(shù)明顯不等。

  那么當(dāng)n時(shí)奇數(shù)的時(shí)候,為了保證左右兩邊x的指數(shù)相等,f(x)在0處的n階導(dǎo)必為0;那么右邊的式子就只剩下x的偶數(shù)次項(xiàng)了。



  有人會(huì)問,為什么這里②式中的分子里的n不換成2k?

  因?yàn)檫@個(gè)級(jí)數(shù)的所有項(xiàng)都是滿足n=2k的,你把n換成2k也對(duì),但這樣你求的就是f(x)在0的2k次導(dǎo)數(shù),而我們需要的時(shí)n次導(dǎo),這只是一個(gè)表示方式的問題,其表示的內(nèi)容都是一樣的。

  所以得到最后答案



  最后補(bǔ)充:

  對(duì)于求高階導(dǎo)數(shù),尤其是n次導(dǎo)數(shù)

  1.萊布尼茲公式一般用于所給的f(x)是一個(gè)表達(dá)式的時(shí)候

  2.而級(jí)數(shù)展開的方法是特別針對(duì)分段函數(shù)在分段點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)的

  3.至于麥克勞林級(jí)數(shù)展開均可以和上面2個(gè)情況結(jié)合起來

  一般用于求f(x)在x=0的高階導(dǎo)數(shù)的情況。不管是分段函數(shù)還是一個(gè)表達(dá)式表示的函數(shù),都可以用麥克勞林級(jí)數(shù),起的是一個(gè)化簡計(jì)算的作用。

 ?。▽?shí)習(xí)小編:咕咚)

關(guān)于"最后階段,真題的正確打開方式_備考經(jīng)驗(yàn)_考研幫"15名研友在考研幫APP發(fā)表了觀點(diǎn)

掃我下載考研幫

考研幫地方站更多

你可能會(huì)關(guān)心:

來考研幫提升效率

× 關(guān)閉