考研數(shù)學(xué)：6個(gè)大招！修煉矩陣求高次冪秘籍

　　摘要：關(guān)于方陣的高次冪(求矩陣A的n次方這種)，是刷題中經(jīng)常遇到的一種類型，有時(shí)候很簡(jiǎn)單的一個(gè)矩陣，它的高次冪卻很難求，考研中對(duì)其考察的頻率并不是很高。今天來(lái)理一下常用的幾種方陣求高次冪的方法。

　　第一步最重要的是觀察所給矩陣的特征，根據(jù)其“典型特征”選用不同的方法，這一步可以很好的理清思路，避免腦子里一團(tuán)亂。

　　第一種，利用矩陣的跡求高次冪

　　適用情況：r(A)=1或矩陣的各行或各列成比例，這種矩陣一般可以化簡(jiǎn)成A=αTβ（即一個(gè)列向量與一個(gè)行向量的乘積的形式）

　　第二種，二項(xiàng)式展開(kāi)法

　　適用情況：矩陣A是上（下）三角矩陣，且主對(duì)角線的元素全為1（注意這里只能是主對(duì)角線的元素全為1,不能是副對(duì)角線）

　　這樣就可以把矩陣A拆成A=E+B，利用二項(xiàng)式展開(kāi)求其冪。

　　這里有個(gè)小結(jié)論，如例題中的矩陣B，若矩陣主對(duì)角線都是0元素，且是上（下）三角陣，那么在求若干次冪之后，會(huì)變成0矩陣，這個(gè)大家可以自己去嘗試一下。

　　第三種，利用自乘產(chǎn)生的遞推式、數(shù)學(xué)歸納法

　　適用情況：矩陣中元素以0，正負(fù)1為主，且元素分布比較規(guī)律，例如對(duì)稱分布，反對(duì)稱分布。此類矩陣自乘一兩次后會(huì)出現(xiàn)明顯規(guī)律。

　　此類情況在自乘后產(chǎn)生遞推規(guī)律，除了可以直接觀察寫出結(jié)論，也可以利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。

　　第四種，利用分塊矩陣求冪

　　適用情況：矩陣的某一局部有0元素集中，且矩陣為四階及以上的，一般高階矩陣很容易就能看出是否能化成如下的分塊矩陣。

　　第五種，利用相似性求冪

　　適用情況：實(shí)對(duì)稱矩陣，且矩陣的元素不為0，正負(fù)1這些

　　實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似于對(duì)角陣，若用前面第三種方法來(lái)算，若矩陣元素不為0和1，運(yùn)算起來(lái)又很麻煩且第三種方法發(fā)現(xiàn)不了明顯規(guī)律，所以可以用對(duì)角陣來(lái)求冪。

　　第六種，利用特征值求冪

　　適用情況：此類求冪，并不是單純的求矩陣的冪，其主要與特征值特征向量結(jié)合在一起，旨在考察對(duì)特征值定義的理解。

　　以上就是方陣高次冪的常用的幾種解法了，考研考察的范圍基本也在上面六種之中，其中第三種利用遞推式、數(shù)學(xué)歸納法是屬于較難的那種，其余的也就是計(jì)算量略大。

　?。▽?shí)習(xí)小編：咕咚）