2016考研數(shù)學：導數(shù)與微分定理匯總

　　【摘要】在暑期完成第一輪基礎考點的復習之后，9月份開始需要對考研數(shù)學所考的定理定義進行必要的匯總。本文為同學們整理了高數(shù)部分的導數(shù)與微分定理定義匯總?？佳袔蛿y手2016大綱解析人第一時間解讀大綱，點擊免費報名。

　　
　　?導數(shù)與微分
　　1、導數(shù)存在的充分必要條件
　　●函數(shù)f(x)在點x0處可導的充分必要條件是在點x0處的左極限
　　lim（h→-0）[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim（h→+0）[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導數(shù)f-′(x0)右導數(shù)f+′(x0)存在相等。

　　2、函數(shù)f(x)在點x0處可導=>函數(shù)在該點處連續(xù)；函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)≠>在該點可導。即函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導的必要條件而不是充分條件。

　　3、原函數(shù)可導則反函數(shù)也可導，且反函數(shù)的導數(shù)是原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)。

　　4、函數(shù)f(x)在點x0處可微=>函數(shù)在該點處可導；函數(shù)f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點處可導。

　　?中值定理與導數(shù)的應用
　　1、定理（羅爾定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內可導，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區(qū)間（a,b）內至少有一點ξ（a<ξ<b），使的函數(shù)f(x)在該點的導數(shù)等于零：f’(ξ)=0。

　　2、定理（拉格朗日中值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內可導，那么在開區(qū)間（a,b）內至少有一點ξ（a<ξ<b），使的等式f(b)-f(a)=f’(ξ)（b-a）成立即f’(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a）。

　　3、定理（柯西中值定理）如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內可導，且F’(x)在（a,b）內的每一點處均不為零，那么在開區(qū)間（a,b）內至少有一點ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

　　4、洛必達法則應用條件
　　只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。

　　5、函數(shù)單調性的判定法
　　●設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內可導，那么：
　?。?）如果在（a,b）內f’(x)>0，那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調增加；
　?。?）如果在（a,b）內f’(x)<0，那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調減少。

　　●如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導數(shù)不存在的點外導數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f’(x)在各個部分區(qū)間內保持固定符號，因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調。

　　6、函數(shù)的極值
　　●如果函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內有定義，x0是（a,b）內的一個點，如果存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內的任何點x,f(x)<f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值；如果存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內的任何點x,f(x)>f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值。

　　●在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導函數(shù)的極值點必定是它的駐點（導數(shù)為0的點），但函數(shù)的駐點卻不一定是極值點。

　　●定理（函數(shù)取得極值的必要條件）設函數(shù)f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那么函數(shù)在x0的導數(shù)為零，即f’(x0)=0。

　　●定理（函數(shù)取得極值的第一種充分條件）設函數(shù)f(x)在x0一個鄰域內可導，且f’(x0)=0，那么：
　?。?）如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為正；當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；
　?。?）如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為負；當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；
　?。?）如果當x取x0左右兩側臨近的值時，f’(x)恒為正或恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。

　　●定理（函數(shù)取得極值的第二種充分條件）設函數(shù)f(x)在x0處具有二階導數(shù)且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：
　　（1）當f’’(x0)<0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；
　?。?）當f’’(x0)>0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；

　　●駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。

　　7、函數(shù)的凹凸性及其判定
　　設f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如果對任意兩點x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]<
　　[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。

　　●定理設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內具有一階和二階導數(shù)，那么
　　（1）若在（a,b）內f’’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凹的；
　?。?）若在（a,b）內f’’(x)<0，則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凸的。

　　●判斷曲線拐點（凹凸分界點）的步驟
　?。?）求出f’’(x)；
　　（2）令f’’(x)=0，解出這方程在區(qū)間（a,b）內的實根；
　?。?）對于（2）中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側鄰近的符號，如果f’’(x)在x0左右兩側鄰近分別保持一定的符號，那么當兩側的符號相反時，點（x0，f(x0)）是拐點，當兩側的符號相同時，點（x0，f(x0)）不是拐點。

　　●在做函數(shù)圖形的時候，如果函數(shù)有間斷點或導數(shù)不存在的點，這些點也要作為分點。

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