2016考研數(shù)學(xué)：極限的計(jì)算

　　摘要：極限的計(jì)算可以說是考研數(shù)學(xué)中一個(gè)必出的考點(diǎn)，它以怎樣的形式出現(xiàn)還會(huì)是很多研友們的困擾。今天我們就來詳細(xì)地探討一下有關(guān)極限計(jì)算的相關(guān)內(nèi)容吧！

　　極限是考研數(shù)學(xué)每年必考的內(nèi)容，在客觀題和主觀題中都有可能會(huì)涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事實(shí)上，由于這一部分內(nèi)容的基礎(chǔ)性，每年間接考查或與其他章節(jié)結(jié)合出題的比重也很大。極限的計(jì)算是核心考點(diǎn)，考題所占比重最大。熟練掌握求解極限的方法是得高分的關(guān)鍵。

　　?常見題型
　　極限無外乎出這三個(gè)題型：求數(shù)列極限、求函數(shù)極限、已知極限求待定參數(shù)。熟練掌握求解極限的方法是的高分地關(guān)鍵，極限的運(yùn)算法則必須遵從，兩個(gè)極限都存在才可以進(jìn)行極限的運(yùn)算，如果有一個(gè)不存在就無法進(jìn)行運(yùn)算。以下我們就極限的內(nèi)容簡(jiǎn)單總結(jié)下。

　　?常用計(jì)算方法
　　極限的計(jì)算常用方法：四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小代換、兩個(gè)重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調(diào)有界收斂定理、利用連續(xù)性求極限等方法。
　　四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小代換、兩個(gè)重要極限是常用方法，在基礎(chǔ)階段的學(xué)習(xí)中是重點(diǎn)，考生應(yīng)該已經(jīng)非常熟悉，進(jìn)入強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段這些內(nèi)容還應(yīng)繼續(xù)練習(xí)達(dá)到熟練的程度；在強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段考生會(huì)遇到一些較為復(fù)雜的極限計(jì)算，此時(shí)運(yùn)用泰勒公式代替洛必達(dá)法則來求極限會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算，熟記一些常見的麥克勞林公式往往可以達(dá)到事半功倍之效；夾逼定理、利用定積分定義常常用來計(jì)算某些和式的極限，如果最大的分母和最小的分母相除的極限等于1，則使用夾逼定理進(jìn)行計(jì)算，如果最大的分母和最小的分母相除的極限不等于1，則湊成定積分的定義的形式進(jìn)行計(jì)算；單調(diào)有界收斂定理可用來證明數(shù)列極限存在，并求遞歸數(shù)列的極限。

　　?與極限計(jì)算相關(guān)知識(shí)點(diǎn)
　　1、連續(xù)、間斷點(diǎn)以及間斷點(diǎn)的分類：判斷間斷點(diǎn)類型的基礎(chǔ)是求函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左右極限；
　　2、漸近線，(垂直、水平或斜漸近線)；
　　3、多元函數(shù)積分學(xué)，二重極限的討論計(jì)算難度較大，?？疾樽C明極限不存在。

　　?數(shù)列極限的典型方法
　　下面我們重點(diǎn)講一下數(shù)列極限的典型方法。求數(shù)列極限可以歸納為以下三種形式。
　　1、抽象數(shù)列求極限
　　這類題一般以選擇題的形式出現(xiàn)，因此可以通過舉反例來排除。此外，也可以按照定義、基本性質(zhì)及運(yùn)算法則直接驗(yàn)證。

　　2、求具體數(shù)列的極限，可以參考以下幾種方法：
　　a.利用單調(diào)有界必收斂準(zhǔn)則求數(shù)列極限
　　首先，用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法判斷數(shù)列的單調(diào)性和有界性，進(jìn)而確定極限存在性；其次，通過遞推關(guān)系中取極限，解方程，從而得到數(shù)列的極限值。
　　b.利用函數(shù)極限求數(shù)列極限
　　如果數(shù)列極限能看成某函數(shù)極限的特例，形如，則利用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限，此時(shí)再用洛必達(dá)法則求解。

　　3、求N項(xiàng)和或項(xiàng)積數(shù)列的極限，主要有以下幾種方法：
　　a.利用特殊級(jí)數(shù)求和法
　　如果所求的項(xiàng)和式極限中通項(xiàng)可以通過錯(cuò)位相消或可以轉(zhuǎn)化為極限已知的一些形式，那么通過整理可以直接得出極限結(jié)果。
　　b.利用冪級(jí)數(shù)求和法
　　若可以找到這個(gè)級(jí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)，則可以利用冪級(jí)數(shù)函數(shù)的方法把它所對(duì)應(yīng)的和函數(shù)求出，再根據(jù)這個(gè)極限的形式代入相應(yīng)的變量求出函數(shù)值。
　　c.利用定積分定義求極限
　　若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個(gè)因子，剩余的項(xiàng)可用一個(gè)通項(xiàng)表示，則可以考慮用定積分定義求解數(shù)列極限。
　　d.利用夾逼定理求極限
　　若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個(gè)因子，剩余的項(xiàng)不能用一個(gè)通項(xiàng)表示，但是其余項(xiàng)是按遞增或遞減排列的，則可以考慮用夾逼定理求解。
　　e.求N項(xiàng)數(shù)列的積的極限
　　一般先取對(duì)數(shù)化為項(xiàng)和的形式，然后利用求解項(xiàng)和數(shù)列極限的方法進(jìn)行計(jì)算。

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