考研數(shù)學(xué)：尋根究底之隨機(jī)變量篇（三）

多維分布包括三種：聯(lián)合，邊緣，條件。后兩種是多維變量獨(dú)有的分布。我們先從邊緣分布看起。先總體把握一下：X,Y放在一塊構(gòu)成一個(gè)向量（X,Y），

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佚名

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2014-07-18

　　多維分布包括三種：聯(lián)合，邊緣，條件。后兩種是多維變量獨(dú)有的分布。我們先從邊緣分布看起。先總體把握一下：X,Y放在一塊構(gòu)成一個(gè)向量（X,Y），其分布稱為聯(lián)合分布，而X自己作為隨機(jī)變量，其分布稱為（X,Y）關(guān)于X的邊緣分布。當(dāng)然分布包括三種：分布函數(shù)，分布律和概率密度。前面加上邊緣，就得到三種邊緣分布。何為（X,Y）關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)FX(x)？把握兩點(diǎn)即可：一、隨機(jī)變量自己的分布函數(shù)；二、它和聯(lián)合分布函數(shù)的關(guān)系：對(duì)比FX(x)和F(x，y)的定義，我們發(fā)現(xiàn)前者不含y，如何把F(x，y)中的y變沒呢？注意到F(x，y)=P{X<=x,Y<=y}中的“X<=x”和“Y<=y”為兩個(gè)事件，如果我們令y趨于正無(wú)窮，則“Y<=正無(wú)窮”為必然事件，那么F(x，正無(wú)窮)=P{X<=x,Y<=正無(wú)窮}=P{X<=x}。如果我們已知X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)，要求關(guān)于一個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)，只需求極限即可（令一個(gè)變量趨于正無(wú)窮）。
　　弄明白邊緣分布函數(shù)后，邊緣分布律和邊緣概率密度就是類似的了。關(guān)于邊緣分布律，也是把握兩點(diǎn)：一、（X,Y）二維離散型隨機(jī)變量，X自己是一維離散型隨機(jī)變量，它自己應(yīng)有分布律，我們把這個(gè)分布律稱為（X,Y）關(guān)于X的邊緣分布律。二、邊緣分布律和聯(lián)合分布律的關(guān)系。（X,Y）關(guān)于X的邊緣分布律P{X=xi}=pi（i=1,2，…）中不含j，意味著P{X=xi}=pi對(duì)所有的j都成立。故P{X=xi}=P{X=xi,Y=y1}+P{X=xi,Y=y2}+…。也就是說(shuō)，如果我們知道了聯(lián)合分布律，要求邊緣分布律，做加法即可。反過(guò)來(lái)，如果我們已知邊緣分布律，要求聯(lián)合分布律。首先要有“已知邊緣求聯(lián)合”的意識(shí)，之后我們可以把聯(lián)合分布律的表畫出來(lái)，并把邊緣分布律寫在一邊，再結(jié)合已知條件，不難把聯(lián)合分布律的表填完整。對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量，其分布問題關(guān)鍵是寫出聯(lián)合分布律，求邊緣分布律即做加法，求條件分布律做除法即可。
　　根據(jù)離散和連續(xù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們不難得到邊緣概率密度。其概念也是把握兩點(diǎn)：一、(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度其實(shí)就是隨機(jī)變量X自己的概率密度，這是一維隨機(jī)變量的概率密度，與第二章講的概率密度無(wú)區(qū)別，加上邊緣是為了指明它與聯(lián)合概率密度的關(guān)系，當(dāng)然也是為了區(qū)分與二維隨機(jī)變量相關(guān)的兩個(gè)概率密度（聯(lián)合與邊緣）；二、邊緣概率密度與聯(lián)合概率密度是什么關(guān)系？我們可以通過(guò)離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)把握。我們通過(guò)對(duì)聯(lián)合分布律做加法就得到了邊緣分布律，而積分可以理解為“連續(xù)求和”，所以我們通過(guò)對(duì)聯(lián)合概率密度求積分可以得到邊緣概率密度。
　　以上是對(duì)邊緣分布的討論，下面我們來(lái)看條件分布。首先，考研范圍內(nèi)只須考慮條件分布律和條件概率密度，不用管“條件分布函數(shù)”。我們以下面的二維離散型隨機(jī)變量為例，討論條件分布律。先給出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律：P{X=0,Y=0}=1/4,P{X=0,Y=1}=1/4,P{X=1,Y=0}=1/2,P{X=1,Y=1}=0。我們考慮下面的概率P{X=0|Y=0}，不難發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)條件概率，我們按照條件概率的定義寫出來(lái)P{X=0|Y=0}=P{X=0，Y=0}/P{Y=0}=（1/4）/(1/4+1/2)。那么這是不是條件分布律呢？不是，條件分布律要給出Y=0的條件下，X的所有可能取值及取這些值對(duì)應(yīng)的概率。所以上面的式子只是給出了條件分布律中的一項(xiàng)。意識(shí)到這點(diǎn)，我們不難寫出另一個(gè)式子P{X=1|Y=0}=P{X=1，Y=0}/P{Y=0}=（1/2）/(1/4+1/2)。這兩個(gè)式子合起來(lái)構(gòu)成一個(gè)完整的分布律，我們稱其為給定Y=0的條件下X的條件分布律。通過(guò)這個(gè)小例子，我們思考一下：什么是條件分布律？條件分布律是一些條件概率。我們觀察最終結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)結(jié)果是比值，分子是聯(lián)合分布律中的一項(xiàng)，分母是邊緣分布律中的一項(xiàng)。我們可以簡(jiǎn)單地記成：“聯(lián)合/邊緣=條件”。而實(shí)際做題過(guò)程中，如果我們能寫出聯(lián)合分布律，寫出邊緣分布律就是做加法，而寫條件分布律就是做除法。實(shí)際是聯(lián)合分布律中的項(xiàng)占該項(xiàng)所在行（或列）的數(shù)字的和的比例。我們把上面討論的內(nèi)容總結(jié)一下，就得到了一般的條件分布律的定義。我們稱P{X=xi|Y=yj}=pij（i=1,2，…）為給定Y=yj的條件下，X的條件分布律。在這個(gè)定義式中，要分清哪個(gè)指標(biāo)是固定的，哪個(gè)指標(biāo)是可變的。
　　條件概率密度可以依據(jù)離散和連續(xù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)理解。如對(duì)于條件分布律，有“聯(lián)合/邊緣=條件”，那么相應(yīng)地，條件概率密度等于聯(lián)合概率密度除以邊緣概率密度,即fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y)。
　　下面我們對(duì)多維分布做一個(gè)小結(jié)：多維分布分成三個(gè)部分：聯(lián)合分布，邊緣分布和條件分布。這三部分基本的要求是理解定義和性質(zhì)，其中聯(lián)合分布函數(shù)有四條性質(zhì)，前三條由一維分布函數(shù)推廣而來(lái)，第四條性質(zhì)通過(guò)畫圖理解；聯(lián)合分布律和聯(lián)合概率密度的性質(zhì)（非負(fù)性和歸一性）可作為充要條件；邊緣分布函數(shù)，分布律和概率密度其實(shí)是一維分布，自然滿足一維分布的性質(zhì)；條件分布律和條件概率密度也滿足非負(fù)性和歸一性。多維分布這部分內(nèi)容對(duì)應(yīng)考研數(shù)學(xué)兩道大題：多維分布的計(jì)算和求隨機(jī)變量函數(shù)的分布。有了對(duì)基本概念的透徹理解，掌握相應(yīng)的方法就水到渠成了。