數(shù)學(xué)概率論備考指導(dǎo)：尋根究底之隨機(jī)變量篇

　　普研數(shù)學(xué)中概率共五題。如果有時(shí)間，看看真題，會(huì)發(fā)現(xiàn)題目是這么表述的："設(shè)隨機(jī)變量X…"，"設(shè)總體X…"，"設(shè)樣本X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本…"?？梢?jiàn)考研數(shù)學(xué)概率部分是以隨機(jī)變量為載體出題的；另外，隨機(jī)變量之于概率正如矩陣之于線代：矩陣是線性代數(shù)的活動(dòng)基地，線代的核心概念基本上都是用矩陣定義的；而隨機(jī)變量則是概率統(tǒng)計(jì)的活動(dòng)基地，概率統(tǒng)計(jì)的重要概念均以隨機(jī)變量為載體展開(kāi)。

　　隨機(jī)變量，顧名思義，就是具有隨機(jī)性的變量。什么叫有隨機(jī)性？劉瑋宇老師將帶領(lǐng)大家從隨機(jī)試驗(yàn)開(kāi)始看起。
　　所謂隨機(jī)試驗(yàn)，就是具有如下特征的試驗(yàn)："可重復(fù)"，"結(jié)果不唯一"，"無(wú)法預(yù)知"（試驗(yàn)前無(wú)法預(yù)知哪種結(jié)果出現(xiàn)）。如擲硬幣，擲骰子。對(duì)于某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們把其結(jié)果收集起來(lái)構(gòu)成一個(gè)集合，這就構(gòu)成了該試驗(yàn)的樣本空間。而樣本空間的子集就是隨機(jī)事件。所以隨機(jī)事件即某些試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的集合。概率第一章的基本概念：樣本空間、隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件、基本事件，均可以理解成特殊的集合（由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的集合）：全集、子集、全集、空集、單點(diǎn)集。
　　隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的單值函數(shù)。例如對(duì)于擲硬幣這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為{正，反}，我們可以在這個(gè)樣本空間上定義一個(gè)隨機(jī)變量：X（正）=1，X（反）=0。

　　關(guān)于隨機(jī)變量的概念，我們不妨多思考一下，以增進(jìn)和它的關(guān)系。套用一句廣告詞：你怎么對(duì)待隨機(jī)變量，隨機(jī)變量就怎么對(duì)待你。請(qǐng)思考如下幾個(gè)問(wèn)題：

　　1.隨機(jī)變量是個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是不是高數(shù)中的函數(shù)？
　　不少同學(xué)沒(méi)有思考過(guò)這個(gè)問(wèn)題，那就錯(cuò)過(guò)了深入理解隨機(jī)變量的機(jī)會(huì)。高數(shù)中的函數(shù)是什么樣子的？起碼定義域是實(shí)數(shù)集或?qū)崝?shù)集的子集。而隨機(jī)變量的定義域是樣本空間。這說(shuō)明二者是不同類型的函數(shù)。什么？函數(shù)還有不同類型？有這種疑惑的同學(xué)很可能沒(méi)有好好看教材，在同濟(jì)六版高數(shù)教材第6頁(yè)，有一小段話，較為透徹地解答了該問(wèn)題。大家可以通過(guò)翻書(shū)或聽(tīng)我嘮叨幾句這兩種方式解決這個(gè)問(wèn)題。ready？go！映射是兩個(gè)集合A，B之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，考慮非空集合A、B，對(duì)于集合A中的任一元素，若集合B中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，我們就把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為從A到B的映射。如果集合A、B均為實(shí)數(shù)集或其子集，我們把這個(gè)映射稱為函數(shù)。如果定義域?yàn)橐粋€(gè)一般的集合（非實(shí)數(shù)集或其子集），那么我們把這種映射稱為泛函（泛函字面意思為廣義的函數(shù)）。理解了這些概念后，我們?cè)賮?lái)看隨機(jī)變量，不難發(fā)現(xiàn)它原來(lái)是個(gè)泛函（怪不得不好理解呢）。泛函的知識(shí)考研不要求，不必深究。

　　2.隨機(jī)變量能否表示隨機(jī)事件？
　　這個(gè)問(wèn)題也有不少同學(xué)感到困惑。我們以上面定義的這個(gè)隨機(jī)變量為例，{X=1}是個(gè)隨機(jī)事件嗎？是?？梢杂袃蓚€(gè)理解角度：其一，它可以寫(xiě)成{X=1}={e|X(e)=1}={正}，這是一種反對(duì)應(yīng)：由函數(shù)因變量的取值反對(duì)應(yīng)自變量的取值。大家可以體會(huì)一下如何用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件；其二，X有兩種可能的取值0，1，并且以一定的概率取每個(gè)值，而可以考慮概率的事件自然是隨機(jī)事件了。所以以后見(jiàn)到一個(gè)隨機(jī)變量，我們不一定要弄清它是如何定義的（有時(shí)這是困難的），只要我們能分析出這個(gè)變量有若干種可能的取值，取每個(gè)值有相應(yīng)的概率即可認(rèn)可其為隨機(jī)變量，進(jìn)行下一步分析即可。
　　類似地，{X<=1}也是隨機(jī)事件。而且這種方式表示的隨機(jī)事件有重要應(yīng)用。正如深挖群眾提供的貪腐線索有可能揪出大老虎，深入理解基本概念可能會(huì)有意想不到的收獲。由{X<=1}為隨機(jī)事件，不難得到{X<=a}亦為隨機(jī)事件（其中a為給定的實(shí)數(shù)）。進(jìn)一步，{X<=x}是隨機(jī)事件嗎（x為變量，且不具有隨機(jī)性）？給定x，{X<=x}為一個(gè)隨機(jī)事件；若給定不同的x，就得到不同的隨機(jī)事件。如果x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，我們就得到了一系列的隨機(jī)事件。而每個(gè)隨機(jī)事件又可以與一個(gè)概率對(duì)應(yīng)。這樣，對(duì)于每個(gè)x，有唯一確定的實(shí)數(shù)與其對(duì)應(yīng)，這就確定了函數(shù)關(guān)系。這個(gè)函數(shù)是與X有關(guān)的，我們稱其為X的分布函數(shù)。是不是有點(diǎn)意外的收獲？
　　走筆至此，我忍不住要說(shuō)兩句"形而上"的東西。為什么有同學(xué)感覺(jué)課上聽(tīng)懂了，課下卻不會(huì)做題？一個(gè)重要的原因是上課是學(xué)生跟著老師的思路走，缺少主動(dòng)探索和"試錯(cuò)"。我們碰到一道題就像路過(guò)一個(gè)十字路口，有前后左右四個(gè)方向可選，而最終我們會(huì)選擇其中一個(gè)方向走下去。那為什么要選這個(gè)方向？很多時(shí)候，我們要用主動(dòng)的試錯(cuò)去減少可能性，用試錯(cuò)去建立自己的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，進(jìn)而依據(jù)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)做決策。而這種試錯(cuò)最好在平時(shí)完成（在考場(chǎng)上試錯(cuò)就"悲劇"了）。

　　3.為什么要引入隨機(jī)變量？
　　隨機(jī)變量是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，方便用數(shù)學(xué)工具處理。沒(méi)有隨機(jī)變量的狀態(tài)，我們已經(jīng)見(jiàn)識(shí)過(guò)了，就在概率的第一章。我們可以考慮隨機(jī)事件，但每次說(shuō)起來(lái)和寫(xiě)起來(lái)都不方便：事件中的元素可能是"正"和"反"，也可能是"1點(diǎn)"和"6點(diǎn)"，還可能是"中"和"不中"；相應(yīng)地算概率可能是P{"正"},可能是P{"擲出偶數(shù)點(diǎn)"}，還可能是P{"獨(dú)立重復(fù)地射擊10次，擊中k次"}。而有了隨機(jī)變量后，整個(gè)概率的世界就不同了：可以用P{X=1}表示擲硬幣朝上的面為正面，表示擲骰子擲出偶數(shù)點(diǎn)，還可以表示射擊命中，只需要修改隨機(jī)變量X的定義即可；此外，我們可以進(jìn)一步定義X的分布函數(shù)，那么高等數(shù)學(xué)就可以作為一個(gè)工具來(lái)為概率統(tǒng)計(jì)服務(wù)了，比如求極限，求導(dǎo)這些基本計(jì)算可以對(duì)分布函數(shù)進(jìn)行。

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