尋根究底之秩篇（1）：是什么，為什么，怎么用

【系列文章】
尋根究底之秩篇（2）：是什么，為什么，怎么用
尋根究底之秩篇（3）：是什么，為什么，怎么用

　　新知識(shí)的獲取離不開(kāi)探索。探索越多，收獲越多。雖然考研備考更多的是復(fù)習(xí)而非創(chuàng)新，但只要一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、一種方法、一種理解角度對(duì)你是新的，那這種復(fù)習(xí)便可歸為廣義的探索。這種探索與學(xué)術(shù)研究有所不同，學(xué)術(shù)研究更多地是在某點(diǎn)的深入，形不成體系;而研究生考試考查的知識(shí)不少已形成知識(shí)體系，是可以系統(tǒng)地理解的。而要理解并把握一個(gè)知識(shí)體系需要做到融會(huì)貫通。所以我們復(fù)習(xí)時(shí)要有尋根究底的精神：為了弄清概念A(yù)，我們要理解概念B，而概念B中很可能又含有你不甚了解的概念C……不要放棄，堅(jiān)持下去!只要這些概念是考綱要求的，就不要放過(guò)!下面的文字也是按照這種思路組織的。我當(dāng)年也是按照這種方式學(xué)習(xí)的，效果不錯(cuò)。

　　秩的中文含義是官員俸祿的動(dòng)態(tài)排序，英文單詞是rank，也有次序、排位之意。秩在線性代數(shù)中用在矩陣和向量組上，我們也可以將秩視為對(duì)矩陣和向量組排序的一種指標(biāo)(如果按照秩從小到大的順序排列，那零矩陣排在最前面，接著是秩為1的矩陣，……)。跟秩打了個(gè)招呼后，請(qǐng)睜大眼睛，做好迎接挑戰(zhàn)的準(zhǔn)備，我們的探索之旅開(kāi)始了。

　　一、 矩陣的秩

　　什么是矩陣?矩陣即由m乘n個(gè)實(shí)數(shù)排列而成的m行n列的數(shù)表。

　　有人說(shuō)，要想真正認(rèn)識(shí)一座山，除了要親自爬一下這座山，還要爬其它的山。這是有道理的：前者讓人有親身經(jīng)驗(yàn)，后者使人有所參照。生活和學(xué)習(xí)中的很多道理是相通的。要透徹理解一個(gè)概念，不僅需要深入理解其定義，而且需要將其與其它概念作比較，以辨明區(qū)別與聯(lián)系。

　　下面，我們就把矩陣與行列式做一個(gè)比較：

　　上表提到了子式，那什么是子式?

　　子式即矩陣任取i行i列交叉位置的元素所構(gòu)成的行列式。為什么叫子式?子即孩子，因?yàn)樗删仃嚠a(chǎn)生的，是矩陣的孩子;式即行列式。這里的子式是相對(duì)矩陣而言的，行列式有沒(méi)有子式呢?因?yàn)樾辛惺街械脑厥前捶疥囆问脚帕械?，是可以按照矩陣找子式的方式找出子式的。但這只是矩陣找子式的方式，行列式有自己找子式的方式。也即行列式也有子式，不過(guò)子式的找法與矩陣不同。如何找，找出來(lái)是什么樣子?我們看下面兩個(gè)概念：

　　1. 余子式

　　顧名思義：余下的子行列式。仍有疑問(wèn)：余下的，怎么余下的?子式是“由行列式產(chǎn)生的行列式”嗎?后面問(wèn)題回答是肯定的。對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，看一下余子式的完整定義就可以了：行列式中元素aij對(duì)應(yīng)的余子式為在行列式中劃掉aij所在行和列后構(gòu)成的低一階的行列式。

　　所以我們發(fā)現(xiàn)：余下的含義是劃掉了一行一列而剩下。并且還發(fā)現(xiàn)余子式是只能是低一階的行列式，不能低兩階或低多階，也不能是同階。

　　電影《肖申克的救贖》中有句臺(tái)詞，大意為：既然已經(jīng)走了這么遠(yuǎn)，為什么不多走一點(diǎn)呢?套用過(guò)來(lái)：既然我們已經(jīng)弄清了余子式的概念，那為什么不多走一步，弄清一個(gè)相關(guān)的概念——代數(shù)余子式呢?

　　2. 代數(shù)余子式

　　代數(shù)作為修飾語(yǔ)的含義是“帶符號(hào)”(或加正負(fù)號(hào))。如定積分的幾何意義是曲邊梯形面積的代數(shù)和。所以代數(shù)余子式即帶符號(hào)的余子式。這里又產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題：符號(hào)的正負(fù)是如何確定的呢?這是由劃掉的行數(shù)和列數(shù)決定的，或者說(shuō)由元素aij所在的位置決定的，即-1的i+j次冪。

　　通過(guò)一番討論，我們搞清了子式的概念。那對(duì)于這樣一個(gè)1乘3矩陣：(1 2 0)，你能找出它的所有的子式嗎?不難發(fā)現(xiàn)它的子式共有三個(gè)：1,2,0。這說(shuō)明：一個(gè)矩陣的子式可能有多個(gè)。而我們關(guān)注的是那些非零的子式(注意到子式是行列式，而行列式的值是可以算出來(lái)的)。此處非零的子式有：1,2。現(xiàn)在我們?cè)偻瓿梢豁?xiàng)工作，勝利就在眼前了。在這些非零的子式里，我們挑出階數(shù)最高的。此處兩個(gè)非零子式都是一階的，最高階數(shù)當(dāng)然是1。這個(gè)最高階數(shù)不是別的，就是原矩陣的秩。所以矩陣(1 2 0)的秩為1。是不是有“眾里尋他千百度，那秩卻在燈火闌珊處”的感覺(jué)?

　　對(duì)于一個(gè)一般的m乘n矩陣，我們也可以按照上面的三個(gè)步驟找出它的秩：找出它的所有子式;在這些子式里面找出非零的;挑出非零子式中階數(shù)最高的，這個(gè)最高階數(shù)就是矩陣的秩。下面再看矩陣的秩的定義，就會(huì)覺(jué)得它不那么難理解了。

　　矩陣的秩即矩陣中非零子式的最高階數(shù)。