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干貨:2021考研數(shù)學:高數(shù)牢記定理(一)

  摘要:對于考研數(shù)學來說,高數(shù)部分很重要,要想拿分,須把一些定理記牢。為此,幫幫整理了“2021考研數(shù)學:高數(shù)牢記定理(一)”的文章,希望對大家有所幫助。

  ?函數(shù)與極限

  1、函數(shù)的有界性在定義域內有f(x)&geK1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界,K1為下界如果有f(x)&leK2,則有上界,K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內有界的充分要條件是在定義域內既有上界又有下界。

  2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列xn不能同時收斂于兩個不同的極限。

  定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列xn收斂,那么數(shù)列xn一定有界。

  如果數(shù)列xn無界,那么數(shù)列xn一定發(fā)散但如果數(shù)列xn有界,卻不能斷定數(shù)列xn一定收斂,例如數(shù)列1,-1,1,-1,(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散,所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的要條件而不是充分條件。

  定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關系)如果數(shù)列xn收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列xn有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限,那么數(shù)列xn是發(fā)散的,如數(shù)列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子數(shù)列x2k-1收斂于1,xnk收斂于-1,xn卻是發(fā)散的同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

  3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義

  定理(極限的局部保號性)如果lim(x&rarrx0)時f(x)=A,而且A>0(或A0(或f(x)>0),反之也成立。

  函數(shù)f(x)當x&rarrx0時極限存在的充分要條件是左極限右極限各自存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等則limf(x)不存在。

  一般的說,如果lim(x&rarr&infin)f(x)=c,則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x&rarrx0)f(x)=&infin,則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

  4、極限運算法則定理:有限個無窮小之和也是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小定理如果F1(x)&geF2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a&geb.

  5、極限存在準則:兩個重要極限lim(x&rarr0)(sinx/x)=1lim(x&rarr&infin)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數(shù)列xn、yn、zn滿足下列條件:yn&lexn&lezn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,對于函數(shù)該準則也成立。

  單調有界數(shù)列有極限。

  6、函數(shù)的連續(xù)性:設函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義,如果函數(shù)f(x)當x&rarrx0時的極限存在,且等于它在點x0處的函數(shù)值f(x0),即lim(x&rarrx0)f(x)=f(x0),那么就稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。

  不連續(xù)情形:1、在點x=x0沒有定義2、雖在x=x0有定義但lim(x&rarrx0)f(x)不存在3、雖在x=x0有定義且lim(x&rarrx0)f(x)存在,但lim(x&rarrx0)f(x)&nef(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

  如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點,但左極限及右極限都存在,則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點,不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。

  定理:有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續(xù)的函數(shù)。

  定理:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調增加或減少且連續(xù),那么它的反函數(shù)x=f(y)在對應的區(qū)間Iy=y|y=f(x),x&isinIx上單調增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內都是連續(xù)的。

  定理(最大值最小值定理):在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點,那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

  定理(有界性定理):在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,即m&lef(x)&leM.定理(零點定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)

  推論:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

  ?幫幫友情提示:干貨:2021考研高數(shù)基礎知識點之常用三角函數(shù)公式

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