干貨：2021考研數(shù)學(xué)：高數(shù)牢記定理(一)

　　摘要：對(duì)于考研數(shù)學(xué)來說，高數(shù)部分很重要，要想拿分，須把一些定理記牢。為此，幫幫整理了“2021考研數(shù)學(xué)：高數(shù)牢記定理(一)”的文章，希望對(duì)大家有所幫助。

　　?函數(shù)與極限

　　1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)&geK1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界如果有f(x)&leK2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。

　　2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列xn不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。

　　定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列xn收斂，那么數(shù)列xn一定有界。

　　如果數(shù)列xn無界，那么數(shù)列xn一定發(fā)散但如果數(shù)列xn有界，卻不能斷定數(shù)列xn一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的要條件而不是充分條件。

　　定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列xn收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列xn有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列xn是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數(shù)列x2k-1收斂于1，xnk收斂于-1，xn卻是發(fā)散的同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

　　3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義

　　定理(極限的局部保號(hào)性)如果lim(x&rarrx0)時(shí)f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

　　函數(shù)f(x)當(dāng)x&rarrx0時(shí)極限存在的充分要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

　　一般的說，如果lim(x&rarr&infin)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x&rarrx0)f(x)=&infin，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

　　4、極限運(yùn)算法則定理：有限個(gè)無窮小之和也是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小定理如果F1(x)&geF2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a&geb.

　　5、極限存在準(zhǔn)則：兩個(gè)重要極限lim(x&rarr0)(sinx/x)=1lim(x&rarr&infin)(1+1/x)x=1.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列xn、yn、zn滿足下列條件：yn&lexn&lezn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對(duì)于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。

　　單調(diào)有界數(shù)列有極限。

　　6、函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x&rarrx0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x&rarrx0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。

　　不連續(xù)情形：1、在點(diǎn)x=x0沒有定義2、雖在x=x0有定義但lim(x&rarrx0)f(x)不存在3、雖在x=x0有定義且lim(x&rarrx0)f(x)存在，但lim(x&rarrx0)f(x)&nef(x0)時(shí)則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

　　如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn))。非第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)(無窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn))。

　　定理:有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

　　定理:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy=y|y=f(x)，x&isinIx上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

　　定理(最大值最小值定理):在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

　　定理(有界性定理):在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m&lef(x)&leM.定理(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)(即f(a)×f(b)

　　推論:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

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