考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化攻略：兩大方向剖析解題思路

　　摘要：考研數(shù)學(xué)心頭肉，如何做到不落后？不一樣的思路整理，不一樣的方法呈現(xiàn)，當(dāng)你真正了解了考研數(shù)學(xué)，你才能愛上考研數(shù)學(xué)，然后才會(huì)學(xué)好考研數(shù)學(xué)。

　　一、考研數(shù)學(xué)基本信息

　　●考試時(shí)間：3小時(shí)

　　●考試題型：

　　考研數(shù)學(xué)試卷共23道題，其中選擇題8道，都是單選題，填空題6道，解答題9道，其中含部分證明題，試卷總分是150分。

　　●考試類別：

　　考研數(shù)學(xué)主要分為3類：數(shù)學(xué)（一）、數(shù)學(xué)（二）、數(shù)學(xué)（三），另外還有一些其它非主流的類別，如農(nóng)學(xué)數(shù)學(xué)等。

　　●考試范圍：

　　數(shù)學(xué)（一）和數(shù)學(xué)（三）的考試范圍包括高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)這三門課程，數(shù)學(xué)（二）只考高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)兩門課程，其中不同類別的具體考試內(nèi)容有些差異，詳細(xì)區(qū)別可參看考研數(shù)學(xué)考試大綱。

　　在三類考試中，線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)都是各占22%的比例，其余部分則是高等數(shù)學(xué)，其中數(shù)學(xué)（一）和數(shù)學(xué)（三）中的高等數(shù)學(xué)占比為56%，數(shù)學(xué)（二）中的高等數(shù)學(xué)占比為78%，三類考試中線性代數(shù)的考試內(nèi)容相差不大。

　　●考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料主要包括以下幾種：

　　①教材：通過(guò)教材對(duì)考研內(nèi)容進(jìn)行細(xì)致和全面系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，為后續(xù)復(fù)習(xí)打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。教材上的大部分習(xí)題都應(yīng)該做，具體教材可以使用大一和大二自己使用的數(shù)學(xué)教材，或者目前主流的考研復(fù)習(xí)教材，如同濟(jì)大學(xué)的高等數(shù)學(xué)（上、下冊(cè)，第七版）和線性代數(shù)（第六版），以及浙江大學(xué)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）。

　?、谥v義：通過(guò)輔導(dǎo)講義對(duì)考試內(nèi)容和?？碱}型及方法進(jìn)行全面復(fù)習(xí)。如文都教育編寫的考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義，包括：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義。

　?、劬C合指導(dǎo)書：就是考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全之類的書，宗旨是幫助大家建立數(shù)學(xué)理論體系和方法體系，使用時(shí)間是上半年和暑假，使用方法是一邊聽課一邊看書，如果是在基礎(chǔ)階段參考，有些看不懂沒(méi)關(guān)系，后期強(qiáng)化階段再理解消化。

　?、芫毩?xí)題：通過(guò)大量練習(xí)使考生熟練地掌握各種解題方法和技巧。如接力題典1800，在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)階段做其中基礎(chǔ)篇的習(xí)題，在強(qiáng)化階段做綜合提高篇的習(xí)題。

　　⑤真題：通過(guò)做真題來(lái)提高考生在實(shí)戰(zhàn)中的解題能力和心里上的適應(yīng)性。

　　二、通過(guò)18考研數(shù)學(xué)真題，洞察命題規(guī)律

　　1、2018考研數(shù)學(xué)試題的特點(diǎn)

　?、賵?jiān)持以考試大綱為指導(dǎo)

　　2018考研大綱是在今年的9月15號(hào)發(fā)布的，縱觀整套試卷，無(wú)論是數(shù)一、數(shù)二還是數(shù)三，從試題結(jié)構(gòu)、分值比例還是考試內(nèi)容，都完全遵從考試大綱。包括數(shù)一的假設(shè)檢驗(yàn)、旋度、曲面積分，數(shù)二的曲率，數(shù)三的差分方程，都是大綱規(guī)定的考察內(nèi)容。

　?、趫?jiān)持以真題重點(diǎn)為核心

　　給大家舉個(gè)例子；數(shù)二的第17題，數(shù)三的第16題，考察二重積分的計(jì)算；對(duì)數(shù)二數(shù)三，二重積分的計(jì)算在往年試卷中，幾乎每年必考，是重點(diǎn).今年的試卷上再次出現(xiàn)。數(shù)一的第17題考查曲面積分的計(jì)算。對(duì)于數(shù)一，曲線積分、曲面積分的計(jì)算，是重點(diǎn)，2018年又一次考到。

　?、蹐?jiān)持以往年真題為參考

　　像數(shù)一和數(shù)三的第19題和數(shù)二的第21題都在考查數(shù)列極限，先證明數(shù)列極限存在，再求極限。和2006年數(shù)一的第16題，數(shù)二的第18題非常類似，解題方法、解題思路都沒(méi)有變；這樣的題，每年都有很多，一定要引起高度重視。

　　2、2019考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)建議

　　①重視解題方法

　　例如剛才提到二重積分的計(jì)算，是重點(diǎn)題型，幾乎每年必考。見到二重積分的計(jì)算，我們首先應(yīng)該想到選擇坐標(biāo)系，直角坐標(biāo)和極坐標(biāo).特別是當(dāng)所求積分區(qū)域?yàn)閳A、圓的一部分、圓環(huán)或被積函數(shù)中有

　　時(shí)，用極坐標(biāo)比較簡(jiǎn)單。在用直角坐標(biāo)時(shí)，我們要注意選擇積分次序，盡量避免分段。

　?、谔岣哂?jì)算能力

　　數(shù)學(xué)離不開數(shù)字，更離不開計(jì)算，考研數(shù)學(xué)滿分150，只有個(gè)別考察概念的題目不需要計(jì)算，剩下140多分的題目都需要計(jì)算，包括很多證明題也是在變相的考察計(jì)算能力。希望大家從現(xiàn)在開始，養(yǎng)成一個(gè)仔細(xì)、認(rèn)真的做題習(xí)慣，力爭(zhēng)會(huì)一個(gè)對(duì)一個(gè)，只有這樣，我們最后的考研數(shù)學(xué)成績(jī)才能達(dá)到我們預(yù)期的目標(biāo)。

　?、垩芯繗v年真題

　　前面也給大家提到，歷年真題具有非常高的重復(fù)性，很多年份就變個(gè)數(shù)字，解題方法和解題思路都不變，我們一定要對(duì)歷年真題給以高度重視，認(rèn)真研究，對(duì)做錯(cuò)的題目多做幾遍，對(duì)不會(huì)的題目找到解題方法，加以歸納總結(jié)。

　　對(duì)于2019考研的學(xué)生，利用接下來(lái)的寒假時(shí)間系統(tǒng)復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)的上下冊(cè)，畢竟高等數(shù)學(xué)在整個(gè)考研數(shù)中的重要性和難度都是最大的。

　　三、考研數(shù)學(xué)三大科目的解題思路

　　?高數(shù)解題的四種思維定勢(shì)

　　第一句話：在題設(shè)條件中給出一個(gè)函數(shù)f(x)二階和二階以上可導(dǎo)，“不管三七二十一”，把f(x)在指定點(diǎn)展成泰勒公式再說(shuō)。

　　第二句話：在題設(shè)條件或欲證結(jié)論中有定積分表達(dá)式時(shí)，則“不管三七二十一”先用積分中值定理對(duì)該積分式處理一下再說(shuō)。

　　第三句話：在題設(shè)條件中函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，則“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理處理一下再說(shuō)。

　　第四句話：對(duì)定限或變限積分，若被積函數(shù)或其主要部分為復(fù)合函數(shù)，則“不管三七二十一”先做變量替換使之成為簡(jiǎn)單形式f(u)再說(shuō)。

　　?線性代數(shù)解題的八種思維定勢(shì)

　　第一句話：題設(shè)條件與代數(shù)余子式Aij或A*有關(guān)，則立即聯(lián)想到用行列式按行(列)展開定理以及AA*=A*A=|A|E。

　　第二句話：若涉及到A、B是否可交換，即AB＝BA，則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。

　　第三句話：若題設(shè)n階方陣A滿足f(A)=0，要證aA+bE可逆，則先分解因子aA+bE再說(shuō)。

　　第四句話：若要證明一組向量α1，α2，…，αS線性無(wú)關(guān)，先考慮用定義再說(shuō)。

　　第五句話：若已知AB＝0，則將B的每列作為Ax=0的解來(lái)處理

　　第六句話：若由題設(shè)條件要求確定參數(shù)的取值，聯(lián)想到是否有某行列式為零再說(shuō)。

　　第七句話：若已知A的特征向量ξ0，則先用定義Aξ0＝λ0ξ0處理一下再說(shuō)。

　　第八句話：若要證明抽象n階實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣，則用定義處理一下再說(shuō)。

　　?概率解題的九種思維定勢(shì)

　　第一句話：如果要求的是若干事件中“至少”有一個(gè)發(fā)生的概率，則馬上聯(lián)想到概率加法公式；當(dāng)事件組相互獨(dú)立時(shí)，用對(duì)立事件的概率公式

　　第二句話：若給出的試驗(yàn)可分解成（0－1）的n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則馬上聯(lián)想到Bernoulli試驗(yàn)，及其概率計(jì)算公式

　　第三句話：若某事件是伴隨著一個(gè)完備事件組的發(fā)生而發(fā)生，則馬上聯(lián)想到該事件的發(fā)生概率是用全概率公式計(jì)算。關(guān)鍵：尋找完備事件組

　　第四句話：若題設(shè)中給出隨機(jī)變量X~N則馬上聯(lián)想到標(biāo)準(zhǔn)化~N(0，1)來(lái)處理有關(guān)問(wèn)題。

　　第五句話：求二維隨機(jī)變量（X，Y）的邊緣分布密度的問(wèn)題，應(yīng)該馬上聯(lián)想到先畫出使聯(lián)合分布密度的區(qū)域，然后定出X的變化區(qū)間，再在該區(qū)間內(nèi)畫一條//y軸的直線，先與區(qū)域邊界相交的為y的下限，后者為上限，而的求法類似。

　　第六句話：欲求二維隨機(jī)變量（X，Y）滿足條件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，應(yīng)該馬上聯(lián)想到二重積分的計(jì)算，其積分域D是由聯(lián)合密度的平面區(qū)域及滿足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的區(qū)域的公共部分。

　　第七句話：涉及n次試驗(yàn)?zāi)呈录l(fā)生的次數(shù)X的數(shù)字特征的問(wèn)題，馬上要聯(lián)想到對(duì)X作（0－1）分解。即令

　　第八句話：凡求解各概率分布已知的若干個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量組成的系統(tǒng)滿足某種關(guān)系的概率（或已知概率求隨機(jī)變量個(gè)數(shù)）的問(wèn)題，馬上聯(lián)想到用中心極限定理處理。

　　第九句話：若為總體X的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則凡是涉及到統(tǒng)計(jì)量的分布問(wèn)題，一般聯(lián)想到用卡方分布，t分布和F分布的定義進(jìn)行討論。

　　四、兩大題型解題方法

　　1、單選題

　　單選題的解題方法總結(jié)一下，也就下面這幾種。

　　●方法1：直推法

　　直推法即直接分析推導(dǎo)法。直推法是由條件出發(fā)，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，直接分析、推導(dǎo)或計(jì)算出結(jié)果，從而作出正確的判斷和選擇。計(jì)算類選擇題一般都用這種方法，其它題也常用這種方法，這是最基本、最常用、最重要的方法。

　　●方法2：反推法

　　反推法即反向推導(dǎo)或反向代入法。反推法是由選項(xiàng)(即選擇題的各個(gè)選項(xiàng))反推條件，與條件相矛盾的選項(xiàng)則排除，相吻合的則是正確選項(xiàng)，或者將某個(gè)或某幾個(gè)選項(xiàng)依次代入題設(shè)條件進(jìn)行驗(yàn)證分析，與題設(shè)條件相吻合的就是正確的選項(xiàng)。

　　●方法3：反證法

　　在選擇題的4個(gè)選項(xiàng)中，若假設(shè)某個(gè)選項(xiàng)不正確(或正確)可以推出矛盾，則說(shuō)明該選項(xiàng)是正確選項(xiàng)(或不正確選項(xiàng))。選擇先從哪個(gè)選項(xiàng)著手證明，須根據(jù)題目條件具體分析和判斷，有時(shí)可能需要一些直覺。

　　●方法4：反例法

　　如果某個(gè)選項(xiàng)是一個(gè)命題，要排除該選項(xiàng)或說(shuō)明該命題是錯(cuò)誤的，有時(shí)只要舉一個(gè)反例即可。舉反例通常是用一些常用的、比較簡(jiǎn)單但又能說(shuō)明問(wèn)題的例子。如果大家在平時(shí)復(fù)習(xí)或做題時(shí)適當(dāng)注意積累一下與各個(gè)知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的不同反例，則在考試中可能會(huì)派上用場(chǎng)。

　　●方法5：特例法(特值法)

　　如果題目是一個(gè)帶有普遍性的命題，則可以嘗試采取一種或幾種特殊情況、特殊值去驗(yàn)證哪些選項(xiàng)是正確的、哪些是錯(cuò)誤的，或者哪些極有可能是正確的或錯(cuò)誤的，從而做出正確的選擇。

　　●方法6：數(shù)形結(jié)合法

　　根據(jù)條件畫出相應(yīng)的幾何圖形，結(jié)合數(shù)學(xué)表達(dá)式和圖形進(jìn)行分析，從而做出正確的判斷和選擇。這種方法常用于與幾何圖形有關(guān)的選擇題，如：定積分的幾何意義，二重積分的計(jì)算，曲線和曲面積分等。

　　●方法7：排除法

　　如果可以通過(guò)一種或幾種方法排除4個(gè)選項(xiàng)中的3個(gè)，則剩下的那個(gè)當(dāng)然就是正確的選項(xiàng)，或者先排除4個(gè)選項(xiàng)中的2個(gè)，然后再對(duì)其余的2個(gè)進(jìn)行判斷和選擇。

　　●方法8：直覺法

　　如果采用以上各種方法仍無(wú)法作出選擇，那就憑直覺或第一印象作選擇。雖然直覺法不是很可靠，但可以作為一種參考，況且人的直覺或第一印象有時(shí)還是有一定效果的。

　　在以上方法中，基本的方法是直推法，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)基本知識(shí)和方法進(jìn)行分析判斷，從四個(gè)選項(xiàng)中找出符合要求的那個(gè)選項(xiàng)；排除法是對(duì)所有考試中做選擇題都適用的方法，是一種普遍性的方法；反例法是針對(duì)以數(shù)學(xué)命題作為選項(xiàng)的題目很有用和有效的一種方法，運(yùn)用得當(dāng)可以很快找出答案；數(shù)形結(jié)合法則是針對(duì)與幾何圖形有關(guān)的題目很有用的一種方法。

　　2、大題

　　接下來(lái)提供給大家?guī)讉€(gè)大題的答題技巧，大家認(rèn)真領(lǐng)會(huì)方法，要做到活學(xué)活用。

　　●踩點(diǎn)得分

　　對(duì)于同一道題目，有的人解決得多，有的人解決得少。為了區(qū)分這種情況，閱卷評(píng)分辦法是懂多少知識(shí)就給多少分，這種方法我們叫它“踩點(diǎn)給分”.

　　鑒于這一情況，考試中對(duì)于難度較大的題目采用一定的策略，其基本精神就是會(huì)做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭(zhēng)多得分。對(duì)于會(huì)做的題目，要解決“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”這個(gè)老大難問(wèn)題。

　　有的考生答案雖然對(duì)，但中間有邏輯缺陷或概念錯(cuò)誤，或缺少關(guān)鍵步驟。因此，會(huì)做的題目要特別注意表達(dá)的準(zhǔn)確、考慮的周密、書寫的規(guī)范、語(yǔ)言的科學(xué)，防止被“分段扣點(diǎn)分”。

　　對(duì)于考生會(huì)做的題目，閱卷老師則更注意找其中的合理成分，分段給點(diǎn)分，所以“做不出來(lái)的題目得一二分易，做得出來(lái)的題目得滿分難”。對(duì)絕大多數(shù)考生來(lái)說(shuō)，更為重要的是如何從拿不下來(lái)的題目中得點(diǎn)分。

　　有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略。其實(shí)你要做的是認(rèn)認(rèn)真真把你解題的真實(shí)過(guò)程原原本本寫出來(lái)，就是最好的得分技巧。

　　●大題拿小分

　　如果遇到一個(gè)很困難的問(wèn)題，確實(shí)啃不動(dòng)，一個(gè)聰明的解題策略是，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個(gè)個(gè)小問(wèn)題，先解決問(wèn)題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，尚未成功不等于失敗。

　　特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經(jīng)程序化了的方法，每進(jìn)行一步得分點(diǎn)的演算都可以得分，最后結(jié)論雖然未得出，但分?jǐn)?shù)卻已過(guò)半，這叫“大題拿小分”，確實(shí)是個(gè)好主意。

　　卡殼處先留白，以后推前：解題過(guò)程卡在某一過(guò)渡環(huán)節(jié)上是常見的。這時(shí)，我們可以先承認(rèn)中間結(jié)論，往后推，看能否得到結(jié)論。如果不能，說(shuō)明這個(gè)途徑不對(duì)，立即改變方向；如果能得出預(yù)期結(jié)論，就回過(guò)頭來(lái)，集中力量攻克這一“卡殼處”。

　　由于考試時(shí)間的限制，“卡殼處”的攻克來(lái)不及了，那么可以把前面的寫下來(lái)，再寫出“證實(shí)某步之后，繼續(xù)有……”一直做到底，這就是跳步解答。

　　也許，后來(lái)中間步驟又想出來(lái)，這時(shí)不要亂七八糟插上去，可補(bǔ)在后面，“事實(shí)上，某步可證明或演算如下”，以保持卷面的工整。若題目有兩問(wèn)，第一問(wèn)想不出來(lái)，可把第一問(wèn)作“已知”，“先做第二問(wèn)”，這也是跳步解答。

　　●以退求進(jìn)

　　“以退求進(jìn)”是一個(gè)重要的解題策略。如果你不能解決所提出的問(wèn)題，那么，你可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單，從整體退到部分，從較強(qiáng)的結(jié)論退到較弱的結(jié)論。總之，退到一個(gè)你能夠解決的問(wèn)題。

　　為了不產(chǎn)生“以偏概全”的誤解，應(yīng)開門見山寫上“本題分幾種情況”。這樣，還會(huì)為尋找正確的、一般性的解法提供有意義的啟發(fā)。這個(gè)技巧需要同學(xué)們做題做到一定境界來(lái)體會(huì)，如果可以做到這一步，那么什么難題都不是難題了。

　　看完整篇文章，是不是對(duì)考研數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)更加清晰了，再結(jié)合幫幫之前為大家整理的數(shù)學(xué)規(guī)劃，大家應(yīng)該已經(jīng)對(duì)考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化復(fù)習(xí)有了一個(gè)大致的想法和安排，趕緊實(shí)踐并努力吧！得數(shù)學(xué)者得天下，加油！

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　?。▽?shí)習(xí)小編：加油豬）