拿下攔路虎——線性代數(shù)有技巧

　　【摘要】在考研數(shù)學(xué)中，線性代數(shù)考試題型不多，計(jì)算方法比較初等，但是往往計(jì)算量比較大，導(dǎo)致很多考生對(duì)線性代數(shù)感到棘手。從理論的角度出發(fā)，線性代數(shù)的很多概念和性質(zhì)之間的聯(lián)系很多，特別是每年線性代數(shù)的兩道大題考試內(nèi)容，所涉及到的概念與方法之間需要考生著重掌握。從目前階段來看，考生在復(fù)習(xí)過程中，要注重以下幾點(diǎn)：

　　1.理解與把握基本概念，熟練運(yùn)用基本運(yùn)算

　　線性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(jià)(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān)，重要的有：行列式(數(shù)字型、字母型)的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。

　　2.網(wǎng)狀化知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高綜合分析能力

　　線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問自己做得對(duì)不對(duì)，再問做得好不好。只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

　　文章開頭提到了歷年真題中，兩道大題考試內(nèi)容。考生應(yīng)注意掌握知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系與區(qū)別，例如向量組的秩與矩陣的秩之間的聯(lián)系，向量的線性相關(guān)性與齊次方程組是否有非零解之間的聯(lián)系，向量的線性表示與非齊次線性方程組解的討論之間的聯(lián)系，實(shí)對(duì)稱陣的對(duì)角化與實(shí)二次型化標(biāo)準(zhǔn)形之間的聯(lián)系等。靈活掌握他們之間的聯(lián)系與區(qū)別，對(duì)做線性代數(shù)的兩個(gè)大題在解題思路和方法上會(huì)有很大的幫助。

　　3.加強(qiáng)邏輯性，正確簡(jiǎn)明敘述表述

　　線性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還應(yīng)注意語言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明。

　　4.綜合掌握“一條主線，兩種運(yùn)算，三個(gè)工具”

　　復(fù)習(xí)過程中，綜合掌握“一條主線，兩種運(yùn)算，三個(gè)工具”。一條主線是解線性方程組，線代概念非常多而且相互聯(lián)系，但線代貫穿的主線求方程組的解，只要將方程組的解的概念和一般方法理解透徹，再回過頭看前面的內(nèi)容就非常簡(jiǎn)單。兩種運(yùn)算是求行列式、矩陣的初等行(列)變換，三個(gè)工具是行列式、矩陣、向量。其中，向量組線性相關(guān)性是難點(diǎn)，要理解記憶各條定理，理清其中關(guān)系，多做題鞏固知識(shí)點(diǎn)。特征向量與二次型雖不難，但年年必考，計(jì)算能力要跟上，多做題才能提高正確率。

　　5.不要陷入行列式的復(fù)雜計(jì)算之中

　　行列式是線性代數(shù)中的基本工具，在研究線性方程組和特征值和特征向量時(shí)會(huì)用到，有些行列式的計(jì)算很復(fù)雜，計(jì)算量也很大，但考研大綱對(duì)這部分內(nèi)容的要求并不高，只是要求會(huì)用行列式的性質(zhì)和按行(列)展開定理計(jì)算行列式，該部分內(nèi)容不是考試的重點(diǎn)，因此不要在這方面花太多時(shí)間，只要掌握基本的公式和計(jì)算方法即可。從歷年考研試題分布來看，涉及行列式計(jì)算的題型有4種形式：一是單純的行列式計(jì)算，即題目給出一個(gè)具體行列式，要求計(jì)算其值，二是給出一些抽象矩陣(方陣)及相應(yīng)條件，要求計(jì)算其矩陣行列式的值，三是在解線性方程組時(shí)需要計(jì)算其系數(shù)矩陣的行列式的值，四是在求解特征值時(shí)可能需要計(jì)算特征方程的根，這4種題型考生在復(fù)習(xí)時(shí)都要做一些題，掌握其基本解題方法。

　　6.抓住線性代數(shù)的核心——矩陣

　　矩陣和行列式是研究線性代數(shù)問題的基本工具，尤其是矩陣，它是線性代數(shù)的靈魂，貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過程的始終。在求解線性方程組時(shí)，主要是通過矩陣的秩來判斷解的存在性和唯一性，具體計(jì)算時(shí)主要是通過矩陣的初等變換來求其解;在分析討論向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)時(shí)，利用矩陣的性質(zhì)來判斷其相關(guān)性和無關(guān)性也是常用的一種方法;在計(jì)算特征向量時(shí)，一般都是利用矩陣的性質(zhì)或解方程組來求解;在解決二次型問題時(shí)，首先是利用矩陣運(yùn)算將其表達(dá)為矩陣乘法形式，然后利用矩陣變換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形。由此可知，矩陣是學(xué)習(xí)的重中之重。學(xué)習(xí)矩陣時(shí)，一方面要掌握其性質(zhì)并靈活運(yùn)用到有關(guān)的計(jì)算和證明問題中，另一方面要充分結(jié)合其它知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)來進(jìn)一步強(qiáng)化。

　?。ㄎ沂菍?shí)習(xí)小編覃夜：即使跌倒一百次，也要一百次地站起來。 ）