尋根究底矩陣的秩

　　【摘要】秩在線性代數(shù)中用在矩陣和向量組上，我們也可以將秩視為對矩陣和向量組排序的一種指標。下面為大家講解矩陣的秩的相關知識。
 

　　什么是矩陣？矩陣即由m乘n個實數(shù)排列而成的m行n列的數(shù)表。

　　有人說，要想真正認識一座山，除了要親自爬一下這座山，還要爬其它的山。這是有道理的：前者讓人有親身經驗，后者使人有所參照。生活和學習中的很多道理是相通的。要透徹理解一個概念，不僅需要深入理解其定義，而且需要將其與其它概念作比較，以辨明區(qū)別與聯(lián)系。

　　下面，我們就把矩陣與行列式做一個比較：
 

　　上表提到了子式，那什么是子式？子式即矩陣任取i行i列交叉位置的元素所構成的行列式。為什么叫子式？子即孩子，因為它由矩陣產生的，是矩陣的孩子；式即行列式。這里的子式是相對矩陣而言的，行列式有沒有子式呢？

　　因為行列式中的元素是按方陣形式排列的，是可以按照矩陣找子式的方式找出子式的。但這只是矩陣找子式的方式，行列式有自己找子式的方式。也即行列式也有子式，不過子式的找法與矩陣不同。如何找，找出來是什么樣子？我們看下面兩個概念：

　　1、余子式

　　顧名思義：余下的子行列式。仍有疑問：余下的，怎么余下的？子式是“由行列式產生的行列式”嗎？后面問題回答是肯定的。對于第一個問題，看一下余子式 的完整定義就可以了：行列式中元素aij對應的余子式為在行列式中劃掉aij所在行和列后構成的低一階的行列式。

　　所以我們發(fā)現(xiàn)：余下的含義是劃掉了一行一列而剩下。并且還發(fā)現(xiàn)余子式是只能是低一階的行列式，不能低兩階或低多階，也不能是同階。

　　2、代數(shù)余子式

　　代數(shù)作為修飾語的含義是“帶符號”(或加正負號)。如定積分的幾何意義是曲邊梯形面積的代數(shù)和。所以代數(shù)余子式即帶符號的余子式。這里又產生了一個問 題：符號的正負是如何確定的呢？這是由劃掉的行數(shù)和列數(shù)決定的，或者說由元素aij所在的位置決定的，即-1的i+j次冪。

　　通過一番討論，我們搞清了子式的概念。那對于這樣一個1乘3矩陣：(1 2 0)，你能找出它的所有的子式嗎？不難發(fā)現(xiàn)它的子式共有三個：1，2，0。這說明：一個矩陣的子式可能有多個。而我們關注的是那些非零的子式(注意到子式 是行列式，而行列式的值是可以算出來的)。此處非零的子式有：1，2。

　　現(xiàn)在我們再完成一項工作，勝利就在眼前了。在這些非零的子式里，我們挑出階數(shù)最高的。此處兩個非零子式都是一階的，最高階數(shù)當然是1。這個最高階數(shù)不是別的，就是原矩陣的秩。所以矩陣(1 2 0)的秩為1。是不是有“眾里尋他千百度，那秩卻在燈火闌珊處”的感覺？

　　對于一個一般的m乘n矩陣，我們也可以按照上面的三個步驟找出它的秩：找出它的所有子式；在這些子式里面找出非零的；挑出非零子式中階數(shù)最高的，這個最高階數(shù)就是矩陣的秩。下面再看矩陣的秩的定義，就會覺得它不那么難理解了。矩陣的秩即矩陣中非零子式的最高階數(shù)。

　　下面我們繼續(xù)挖掘矩陣的秩的內涵。

　　一個矩陣的秩為2意味著什么？按照矩陣的秩的定義，我們可以得到該矩陣中非零子式的最高階數(shù)為2?？梢赃@么翻譯：該矩陣中存在2階非零子式，且不存在3階非零子式。

　　前半句話怎么理解？或者反過來理解：試想，如果若這半句話不成立，即矩陣中不存在2階非零子式，那矩陣中非零子式的最高階數(shù)就不可能為2了(應小于或等于1)，這與已知條件矛盾。那么，根據前面的分析，這半句話等價于矩陣的秩大于等于2。類似的討論可以對后半句話進行。不難得到這半句話等價于矩陣的小于等于2。

　　這里有兩個問題：矩陣不存在3階非零子式有幾種情況呢？不難發(fā)現(xiàn)有兩種：(1)矩陣沒有3階子式(跟別談3階非零子式了，如一個2乘2的矩陣)；(2)矩陣有3階子式，但3 階子式全為零。另一個問題，如果矩陣不存在3階非零子式，那么有可能存在4階及以上階的非零子式嗎？如果你對行列式的展開定理比較熟悉，應該不難得出答案。

　　推廣一下，我們就得到了一般情況：矩陣的秩為k等價于矩陣中非零子式的最高階數(shù)為k，也等價于矩陣中存在k階非零子式，且不存在k+1階非零子式。

　　還有兩個特殊情況需要我們注意：

　　矩陣的秩為1等價于矩陣中存在1階非零子式，且不存在2階非零子式。思考：什么是1階子式？不就是矩陣的元素嗎？那么1階非零子式就是非零元素了。進一步，矩陣中存在1階非零子式也即矩陣中存在非零元素。這有說明了什么呢？這說明矩陣不是零矩陣。

　　再分析后半句話，2階子式為零意味著什么？大家可以自己舉個例子，是不是說明二階行列式的元素按行按列成比例(這里的成比例是廣義的，比如二階行列式有一行元素為零，那0除0理解成可以等于任何數(shù))。進一步所有二階子式全為零說明什么，是不是說明整個矩陣是按行按列成比例的分析至此，秩為1的矩陣長什么樣子大家應該有個印象了：存在非零元素，且按行按列成比 例。

　　n階方陣的秩為n等價于其自身取行列式后不為零。這個大家自己分析，應該不困難。這種情況矩陣的秩達到了最大值，秩是滿的，我們稱該矩陣滿秩。

　　考研數(shù)學就沒有那么可怕了，相信你們一定能拿下考研！

      （我是實習小編鄭玉寶，相信自己，你就是最好的?。?/p>