線性代數(shù)考點(diǎn)剖析：相似對(duì)角化理論

　　考研幫說(shuō)：16考研er的腳步越走越快，幫幫總結(jié)了矩陣對(duì)角化相關(guān)的知識(shí)、注意要點(diǎn)及解題技巧，為你掃清數(shù)學(xué)沖刺的障礙。
 

　　矩陣的相似對(duì)角化是考研的重要考點(diǎn)，該部分內(nèi)容既可以出大題，也可以出小題。所以同學(xué)們必須學(xué)會(huì)如何判斷一個(gè)矩陣可對(duì)角化，現(xiàn)把該部分的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下:

　　?一般方陣的相似對(duì)角化理論

　　這里要求掌握一般矩陣相似對(duì)角化的條件，會(huì)判斷給定的矩陣是否可以相似對(duì)角化，另外還要會(huì)矩陣相似對(duì)角化的計(jì)算問(wèn)題，會(huì)求可逆陣以及對(duì)角陣。事實(shí)上，矩陣相似對(duì)角化之后還有一些應(yīng)用，主要體現(xiàn)在矩陣行列式的計(jì)算或者求矩陣的方冪上，這些應(yīng)用在歷年真題中都有不同的體現(xiàn)。

　　1、判斷方陣是否可相似對(duì)角化的條件：
　?。?）充要條件：An可相似對(duì)角化的充要條件是：An有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；
　?。?）充要條件的另一種形式：An可相似對(duì)角化的充要條件是：An的k重特征值滿足
　　
　?。?）充分條件：如果An的n個(gè)特征值兩兩不同，那么An一定可以相似對(duì)角化；
　?。?）充分條件：如果An是實(shí)對(duì)稱矩陣，那么An一定可以相似對(duì)角化。
　　【注】分析方陣是否可以相似對(duì)角化，關(guān)鍵是看線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)，而求特征向量之前，必須先求出特征值。

　　2、求方陣的特征值：
　?。?）具體矩陣的特征值：
　　這里的難點(diǎn)在于特征行列式的計(jì)算：方法是先利用行列式的性質(zhì)在行列式中制造出兩個(gè)0，然后利用行列式的展開(kāi)定理計(jì)算；
　?。?）抽象矩陣的特征值：
　　抽象矩陣的特征值，往往要根據(jù)題中條件構(gòu)造特征值的定義式來(lái)求，靈活性較大。

　　?實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化理論

　　其實(shí)質(zhì)還是矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題，與一般方陣不同的是求得的可逆陣為正交陣。這里要求大家除了掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化外，還要掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，在考試的時(shí)候會(huì)經(jīng)常用到這些考點(diǎn)的。

　　這塊的知識(shí)出題比較靈活，可直接出題，即給定一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似于對(duì)角陣；也可以根據(jù)矩陣A的特征值、特征向量來(lái)確定矩陣A中的參數(shù)或者確定矩陣A；另外由于實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值的特征向量確定出對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出矩陣A。

　　最重要的是，掌握了實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化就相當(dāng)于解決了實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題。

　　1、掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)
　?。?）不同特征值的特征向量一定正交
　?。?）k重特征值一定滿足
　　
　　【注】由性質(zhì)（2）可知，實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化；且有（1）可知，實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以正交相似對(duì)角化。

　　2、會(huì)求把對(duì)稱矩陣正交相似化的正交矩陣
　　【注】熟練掌握施密特正交化的公式；特別注意的是：只需要對(duì)同一個(gè)特征值求出的基礎(chǔ)解系進(jìn)行正交化，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定正交（當(dāng)然除非你計(jì)算出錯(cuò)了會(huì)發(fā)現(xiàn)不正交）。

　　3、實(shí)對(duì)稱矩陣的特殊考點(diǎn)：
　　實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化，利用這個(gè)性質(zhì)可以得到很多結(jié)論，比如：
　　（1）實(shí)對(duì)稱矩陣的秩等于非零特征值的個(gè)數(shù)
　　這個(gè)結(jié)論只對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣成立，不要錯(cuò)誤地使用。
　?。?）兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，如果特征值相同，一定相似
　　同樣地，對(duì)于一般矩陣，這個(gè)結(jié)論也是不成立的。

　　4、實(shí)對(duì)稱矩陣在二次型中的應(yīng)用
　　使用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型使用的方法本質(zhì)上就是實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化。

　　2016年考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)已進(jìn)入沖刺階段，考研幫趙俊光老師針對(duì)有些同學(xué)在矩陣對(duì)角化這塊內(nèi)容上仍存在一些困惑，特撰此文講解矩陣對(duì)角化相關(guān)的知識(shí)、注意要點(diǎn)及解題技巧，祝每個(gè)16考研er都能取得好成績(jī)！

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