線(xiàn)性代數(shù)主要知識(shí)點(diǎn)

　　【摘要】考研數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)的考試知識(shí)點(diǎn)占比達(dá)到百分之二十，考生們備考線(xiàn)性代數(shù)可以通過(guò)下文進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)備考。

　　以下是考研數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)主要考點(diǎn)的介紹：

　　一、向量與線(xiàn)性方程組

　　向量與線(xiàn)性方程組是整個(gè)線(xiàn)性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線(xiàn)性方程組部分的問(wèn)題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)，而其后兩章特征值和特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立，可以看作是對(duì)核心內(nèi)容的擴(kuò)展。

　　向量與線(xiàn)性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識(shí)點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩部分內(nèi)容最有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。

　　這部分的重要考點(diǎn)一是線(xiàn)性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式；二是線(xiàn)性方程組與向量以及其它章節(jié)的各種內(nèi)在聯(lián)系。

　　（1）齊次線(xiàn)性方程組與向量線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系

　　齊次線(xiàn)性方程組可以直接看出一定有解，因?yàn)楫?dāng)變量都為零時(shí)等式一定成立——印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線(xiàn)性表示”。

　　齊次線(xiàn)性方程組一定有解又可以分為兩種情況：1、有唯一零解；2、有非零解。當(dāng)齊次線(xiàn)性方程組有唯一零解時(shí)，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當(dāng)齊次線(xiàn)性方程組有非零解時(shí)，存在不全為零的變量使上式成立；但向量部分中判斷向量組是否線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)的定義也正是由這個(gè)等式出發(fā)的。故向量與線(xiàn)性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系——齊次線(xiàn)性方程組是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線(xiàn)性相關(guān)?？梢栽O(shè)想線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)的概念就是為了更好地討論線(xiàn)性方程組問(wèn)題而提出的。

　　（2）齊次線(xiàn)性方程組的解與秩和極大無(wú)關(guān)組的聯(lián)系

　　同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”。經(jīng)過(guò)“秩-線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)-線(xiàn)性方程組解的判定”的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解，且齊次線(xiàn)性方程組的解向量可以通過(guò)r個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量（基礎(chǔ)解系）線(xiàn)性表示。

　　（3）非齊次線(xiàn)性方程組與線(xiàn)性表示的聯(lián)系

　　非齊次線(xiàn)性方程組是否有解對(duì)應(yīng)于向量是否可由列向量組線(xiàn)性表示，使等式成立的一組數(shù)就是非齊次線(xiàn)性方程組的解。

　　二、行列式與矩陣

　　行列式、矩陣是線(xiàn)性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，從命題人的角度來(lái)看，可以像潤(rùn)滑油一般結(jié)合其它章節(jié)出題，因此必須熟練掌握。

　　行列式的核心內(nèi)容是求行列式——具體行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算。其中具體行列式的計(jì)算又有低階和高階兩種類(lèi)型，主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行（列）展開(kāi)定理化為上下三角行列式求解；而對(duì)于抽象行列式而言，考點(diǎn)不在如何求行列式，而在于結(jié)合后面章節(jié)內(nèi)容的比較綜合的題。

　　矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣各種運(yùn)算律、矩陣相關(guān)的重要公式、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質(zhì)、初等矩陣的性質(zhì)等。

　　三、特征值與特征向量

　　相對(duì)于前兩章來(lái)說(shuō)，本章不是線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)。其原因是解決相關(guān)題目要用到線(xiàn)代中的大量?jī)?nèi)容——既有行列式、矩陣又有線(xiàn)性方程組和線(xiàn)性相關(guān)性，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”。

　　本章知識(shí)要點(diǎn)如下：

　　1.特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法就是記牢一系列公式和性質(zhì)。

　　2.相似矩陣及其性質(zhì)，需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：

　　3.矩陣可相似對(duì)角化的條件，包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件。充要條件一是n階矩陣有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征值;二是任意r重特征根對(duì)應(yīng)有r個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。

　　4.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣及其相似對(duì)角化，n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必可正交相似于以其特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣。

　　四、二次型

　　這部分所講的內(nèi)容從根本上講是特征值和特征向量的一個(gè)延伸，因?yàn)榛涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)型的核心知識(shí)為“對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，必存在正交矩陣使其可以相似對(duì)角化”，其過(guò)程就是上一章相似對(duì)角化在為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)的應(yīng)用。

　　這四個(gè)方面是歷年考研數(shù)學(xué)線(xiàn)代部分的重點(diǎn)，希望考生以此為重點(diǎn)，由點(diǎn)及面，復(fù)習(xí)好線(xiàn)性代數(shù)這部分。

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　?。▽?shí)習(xí)編輯：李斯琪）