摘要:考研數(shù)學(xué)證明題一直以來(lái)是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn),但是好多考研er都感覺(jué)對(duì)證明題無(wú)從下手。本文帶你一起梳理證明題的解題方法和解題思路,希望在
作者
佚名
摘要:考研數(shù)學(xué)證明題一直以來(lái)是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn),但是好多考研er都感覺(jué)對(duì)證明題無(wú)從下手。本文帶你一起梳理證明題的解題方法和解題思路,希望在考研路上祝你一臂之力。
考研數(shù)學(xué)試題中證明題是大題,考生們?nèi)绾谓獯鹱C明題,老師針對(duì)這類題型為考生講解2016考研數(shù)學(xué)證明題怎樣解題。
?結(jié)合幾何意義記住基本原理
重要的定理主要包括零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理,包括條件及結(jié)論。
知道基本原理是證明的基礎(chǔ),知道的程度(即就是對(duì)定理理解的深入程度)不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在,求值是很容易的,但是如果沒(méi)有證明第一步,即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的,如果第一步未得到結(jié)論,那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡(jiǎn)單,只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一:?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則,該問(wèn)題就能輕松解決,因?yàn)閷?duì)于該題中的數(shù)列來(lái)說(shuō),“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多,更多的是要用到第二步。
?借助幾何意義尋求證明思路
一個(gè)證明題,大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的,當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題,可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖,再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn):兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn),那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題:兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn),兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題,只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0,1]上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn),這就是所證結(jié)論,重要的是寫出推理過(guò)程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反,也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的,零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無(wú)法完滿解決問(wèn)題的話,轉(zhuǎn)第三步。
?逆推法
從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題,該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問(wèn)題:即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系,正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性,非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況),這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性,從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。
對(duì)于那些經(jīng)常使用如上方法的考生來(lái)說(shuō),利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的12分,但對(duì)于從心理上就不自信能解決證明題的考生來(lái)說(shuō),卻常常輕易丟失12分,后一部分同學(xué)請(qǐng)按“證明三步走”來(lái)建立自信心,以阻止考試分?jǐn)?shù)的白白流失。
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