考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)六章解析

　　轉(zhuǎn)眼間2015年考研迫在眉睫，對(duì)于數(shù)學(xué)科目的梳理，同學(xué)們應(yīng)該要逐漸建立自己的知識(shí)體系，基礎(chǔ)運(yùn)算方便在保證效率的同時(shí)，也要保證質(zhì)量，提升運(yùn)算的正確率。接下來我們就線性代數(shù)這一模塊進(jìn)行簡(jiǎn)要對(duì)比分析，希望能為大家的復(fù)習(xí)帶來幫助!
　　線性代數(shù)總共分為六章，第一章行列式，本章的考試重點(diǎn)是行列式的計(jì)算，考查形式有兩種：一是數(shù)值型行列式的計(jì)算，二是抽象型行列式的計(jì)算。另外數(shù)值型行列式的計(jì)算不會(huì)單獨(dú)的考大題，它的計(jì)算主要是出現(xiàn)在大題當(dāng)中的某一問或者是在大題的計(jì)算過程中需要計(jì)算行列式，比如求特征值其實(shí)質(zhì)就是計(jì)算含參的數(shù)值型行列式，題目難度不是很大，其主要方法是利用行列式的性質(zhì)或者展開定理即可。而抽象型行列式的計(jì)算主要分為五類：利用行列式的性質(zhì)、利用矩陣乘法、利用特征值、直接利用公式、利用單位陣進(jìn)行變形。06、08、10、12年、13年的填空題均是抽象型的行列式計(jì)算問題，而今年的選擇題考查的是一個(gè)四階行列式的計(jì)算，非常的簡(jiǎn)單，可利用行列式的性質(zhì)求也可利用展開定理來做。
　　第二章為矩陣，本章的概念和運(yùn)算較多，因此考點(diǎn)也較多，但是主要以填空題和選擇題為主，另外也會(huì)結(jié)合其他章節(jié)的知識(shí)考大題。本章的重點(diǎn)較多，有矩陣的乘法、矩陣的秩、逆矩陣、伴隨矩陣、初等變換以及初等矩陣等。其中06、09、11、12年均考查的是初等變換與矩陣乘法之間的相互轉(zhuǎn)化，10年考查的是矩陣的秩，08年考的則是抽象矩陣求逆的問題，這幾年考查的形式為小題，而13年的兩道大題均考查到了本章的知識(shí)點(diǎn)，第一道題目涉及到矩陣的運(yùn)算，第二道大題則用到了矩陣的秩的相關(guān)性質(zhì)。今年的第一道大題的第二問延續(xù)了2013年第一道大題的思路，考查的仍然是矩陣乘法與線性方程組結(jié)合的知識(shí)，但是除了這些還涉及到了矩陣的分塊。
　　第三章向量，本章的重點(diǎn)較多，有概念、性質(zhì)還有定理，出題方式主要以選擇與大題為主。重要的概念有向量的線性表出、向量組等價(jià)、線性相關(guān)與線性無關(guān)、極大線性無關(guān)組等。這一章無論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來每年都有一道考題，不是向量組的線性表出就是向量組的線性相關(guān)性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問題，13年考查的則是向量組的等價(jià)，而今年的選擇題則考查了向量組的線性無關(guān)性。
　　第四章線性方程組，主要考點(diǎn)有兩個(gè)：解的判定與解的結(jié)構(gòu)。06年以來只有11年沒有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題，13年考查的第一道大題考查的形式不是很明顯，但也是線性方程組求解的問題。而今年的第一道大題就是線性方程組的問題，第一問問的非常直接，就是求解一個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，而第二問的問題比較隱晦，需要考生結(jié)合矩陣的分塊、向量組的線性表出以及線性方程組的求解等知識(shí)點(diǎn)來解決。
　　第五章矩陣的特征值與特征向量，有三個(gè)考查重點(diǎn)。一是特征值與特征向量的定義、性質(zhì)以及求法;二是矩陣的相似對(duì)角化問題，三是實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)以及正交相似對(duì)角化的問題。實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)與正交相似對(duì)角化問題可以說每年必考，13年、12年、11年、10年、09年都考了。而今年考查的則是矩陣的相似對(duì)角化問題，是以證明題的形式考查的，讓考生證明一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣與一個(gè)普通矩陣是相似的，此題的難度也不高。首先根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)可知實(shí)對(duì)稱矩陣肯定是可以與以其特征值為對(duì)角線構(gòu)成的對(duì)角陣相似的，因此此題就轉(zhuǎn)化為讓考生證明矩陣與對(duì)角陣是相似的即可，而矩陣可以相似對(duì)角化

是有充要條件的，只需證明有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量即可。
　　第六章二次型，有兩個(gè)重點(diǎn)：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;二是正定二次型。前一個(gè)重點(diǎn)主要考查大題，有兩種處理方法：配方法與正交變換法，而正交變換法是考查的重中之重。12年、11年、10年均以大題的形式出現(xiàn)，考查的是利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，而13年的最后一道大題考查的也是二次型的題目，但它考查的則是二次型的矩陣表示，另外也考到二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，它是通過間接的方式求得特征值然后直接得出標(biāo)準(zhǔn)形的。后一考點(diǎn)正定二次型則以小題為主。而今年則是以填空題的形式出現(xiàn)的，考查的題目為已知二次型的負(fù)慣性指數(shù)為1，讓求參數(shù)的取值范圍。