2017考研大綱解析：大綱解析之線性代數(shù)(四)

　　從最新公布的2017年考研數(shù)學(xué)大綱來看，今年的考生不會有任何復(fù)習(xí)范圍的調(diào)整之憂，你們完全可以按照自己原來的計劃進(jìn)行復(fù)習(xí)，那么接下來如何復(fù)習(xí)就成為考生需要關(guān)注的問題。

　　本文以逆矩陣為例，來介紹一下考生在這一塊的復(fù)習(xí)重點。首先是概念，逆矩陣這一模塊有兩個概念：逆矩陣和伴隨矩陣。對于逆矩陣這個概念，考生應(yīng)該抓住兩個關(guān)鍵點：逆矩陣的討論范圍是方陣;必須同時滿足。對于逆矩陣，存在兩個核心問題：第一，可逆性的討論，即，找到矩陣可逆的充要條件;第二，求一個矩陣的逆矩陣。我們這個模塊的內(nèi)容就是圍繞著這兩個核心問題展開的。要回答這兩個問題，直接靠定義不好解決，我們可以從定義出發(fā)，看可逆矩陣有哪些性質(zhì)。逆矩陣的性質(zhì)有六條：若矩陣可逆，則逆矩陣唯一;若矩陣可逆，則、可逆，且，;若矩陣可逆，且，則可逆，且;若矩陣、均可逆，則也可逆，且;若矩陣、均可逆，則，;若矩陣可逆，則。對于這六條性質(zhì)，考生要清楚是用來做什么的。其中，前五條性質(zhì)是用來求矩陣的逆矩陣的，第六條性質(zhì)，有兩個用處，可以用于求行列式，也可以得到矩陣可逆的必要條件：。

　　要找到矩陣可逆的充分條件，需要借助一個工具，就是伴隨矩陣。對于伴隨矩陣的概念，考生也要抓住兩個關(guān)鍵點：1)伴隨矩陣中的元素是代數(shù)余子式;2)伴隨矩陣中的元素排列順序：第列的元素是第行元素的代數(shù)余子式。對于伴隨矩陣，考生重點掌握兩個公式：1);2)。這兩個公式的適用范圍不同，其中，當(dāng)已知矩陣可逆時，使用公式2);若矩陣不可逆，或矩陣是否可逆未知時，使用公式1)。由公式1)可知，若，則有矩陣可逆，并且。由此，我們就得到了矩陣可逆的充要條件就是。與其他章節(jié)相結(jié)合，我們可以得到該充要條件的其他描述方式：，線性方程組有唯一解，齊次線性方程組僅有零解等。由矩陣可逆的充要條件出發(fā)，我們可以得到如下推論：矩陣為方陣，若存在矩陣，使得或，則矩陣可逆，且。

　　由此，我們可以總結(jié)出，求逆矩陣的方法：1)定義法：只要湊出或，就可得到;2)利用伴隨矩陣：，該方法適用于二階矩陣求逆矩陣;3)初等行變換方法：適用于三階及三階以上矩陣求逆矩陣;4)利用逆矩陣的性質(zhì)。

　　對于逆矩陣這一模塊的學(xué)習(xí)，考生重點從可逆性討論以及逆矩陣的計算這兩個方面去把握就可以了。