2017考研大綱解析：大綱解析之線性代數(shù)(四)

　　從最新公布的2017年考研數(shù)學(xué)大綱來(lái)看，今年的考生不會(huì)有任何復(fù)習(xí)范圍的調(diào)整之憂，你們完全可以按照自己原來(lái)的計(jì)劃進(jìn)行復(fù)習(xí)，那么接下來(lái)如何復(fù)習(xí)就成為考生需要關(guān)注的問(wèn)題。

　　本文以逆矩陣為例，來(lái)介紹一下考生在這一塊的復(fù)習(xí)重點(diǎn)。首先是概念，逆矩陣這一模塊有兩個(gè)概念：逆矩陣和伴隨矩陣。對(duì)于逆矩陣這個(gè)概念，考生應(yīng)該抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：逆矩陣的討論范圍是方陣;必須同時(shí)滿足。對(duì)于逆矩陣，存在兩個(gè)核心問(wèn)題：第一，可逆性的討論，即，找到矩陣可逆的充要條件;第二，求一個(gè)矩陣的逆矩陣。我們這個(gè)模塊的內(nèi)容就是圍繞著這兩個(gè)核心問(wèn)題展開(kāi)的。要回答這兩個(gè)問(wèn)題，直接靠定義不好解決，我們可以從定義出發(fā)，看可逆矩陣有哪些性質(zhì)。逆矩陣的性質(zhì)有六條：若矩陣可逆，則逆矩陣唯一;若矩陣可逆，則、可逆，且，;若矩陣可逆，且，則可逆，且;若矩陣、均可逆，則也可逆，且;若矩陣、均可逆，則，;若矩陣可逆，則。對(duì)于這六條性質(zhì)，考生要清楚是用來(lái)做什么的。其中，前五條性質(zhì)是用來(lái)求矩陣的逆矩陣的，第六條性質(zhì)，有兩個(gè)用處，可以用于求行列式，也可以得到矩陣可逆的必要條件：。

　　要找到矩陣可逆的充分條件，需要借助一個(gè)工具，就是伴隨矩陣。對(duì)于伴隨矩陣的概念，考生也要抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：1)伴隨矩陣中的元素是代數(shù)余子式;2)伴隨矩陣中的元素排列順序：第列的元素是第行元素的代數(shù)余子式。對(duì)于伴隨矩陣，考生重點(diǎn)掌握兩個(gè)公式：1);2)。這兩個(gè)公式的適用范圍不同，其中，當(dāng)已知矩陣可逆時(shí)，使用公式2);若矩陣不可逆，或矩陣是否可逆未知時(shí)，使用公式1)。由公式1)可知，若，則有矩陣可逆，并且。由此，我們就得到了矩陣可逆的充要條件就是。與其他章節(jié)相結(jié)合，我們可以得到該充要條件的其他描述方式：，線性方程組有唯一解，齊次線性方程組僅有零解等。由矩陣可逆的充要條件出發(fā)，我們可以得到如下推論：矩陣為方陣，若存在矩陣，使得或，則矩陣可逆，且。

　　由此，我們可以總結(jié)出，求逆矩陣的方法：1)定義法：只要湊出或，就可得到;2)利用伴隨矩陣：，該方法適用于二階矩陣求逆矩陣;3)初等行變換方法：適用于三階及三階以上矩陣求逆矩陣;4)利用逆矩陣的性質(zhì)。

　　對(duì)于逆矩陣這一模塊的學(xué)習(xí)，考生重點(diǎn)從可逆性討論以及逆矩陣的計(jì)算這兩個(gè)方面去把握就可以了。